Линейная зависимость

[main.c]

Доказать линейную независимость системы функций $\sin x$ и $\cos x$. Даже не знаю с чего и начать. Может кто подскажет?

[bot]

А попробуйте прямо по определению.

[main.c]

Пойдём от противного, предположим, что они линейно зависимы, тогда существует $a$, такое, что при любом $x$, $\sin x = a \cos x$, но при любом $a$ это уравнение имеет не более двух корней, что означает, что это равенство выполняется лишь при некоторых $x$, а должно выполнятся для всех, из чего мы и заключаем, что эти функции линейно независимы.
Это верные рассуждения?

[nnosipov]

main.c в сообщении #680668 писал(а):

$\sin x = a \cos x$, но при любом $a$ это уравнение имеет не более двух корней

Это неверно: например, при $a=1$ имеется бесконечно много корней.

[CptPwnage]

del

[xmaister]

Посчмиайте определитель матрици Грамма.

[main.c]

nnosipov в сообщении #680674 писал(а):

main.c в сообщении #680668 писал(а):

$\sin x = a \cos x$, но при любом $a$ это уравнение имеет не более двух корней

Это неверно: например, при $a=1$ имеется бесконечно много корней.

Согласен, но главное то, что при любом $a$, существует $x$, при котором это равенство не выполняется, а значит они линейно независимы.

xmaister, у нас её ещё не было.

-- 06.02.2013, 18:42 --

Хорошо, с этим я разобрался, а как быть с системой $\sin x, \sin 2x, ..., \sin nx $? Как доказать тут?

[ex-math]

Запишите линейную комбинацию синусов через комплексные экспоненты, и она сведется к многочлену.

[мат-ламер]

CptPwnage в сообщении #680695 писал(а):

del

Может det? И не только Грама, но и Вронского.

[AV_77]

main.c в сообщении #680704 писал(а):

а как быть с системой $\sin x, \sin 2x, ..., \sin nx $? Как доказать тут?

Написать в общем виде линейную комбинацию и продиференцировать сколько нужно раз.

[ex-math]

AV_77
И сколько же раз нужно?
Эта комбинация, по сути, многочлен от $e^{ix}$. А если многочлен тождественно равен нулю, то...

[AV_77]

ex-math в сообщении #680735 писал(а):

И сколько же раз нужно?

Вроде $2n$. В результате относительно коэффициентов линейной комбинации получится система однородных линейных уравнений с матрицей Вандермонда.

[nikvic]

xmaister в сообщении #680702 писал(а):

Посчмиайте определитель матрици Грамма.

(Жалобно)
А может, просто взять пару векторов - одну с нулевым аргументом, другую - с пол-Пи?

[main.c]

AV_77 в сообщении #680731 писал(а):

main.c в сообщении #680704 писал(а):

а как быть с системой $\sin x, \sin 2x, ..., \sin nx $? Как доказать тут?

Написать в общем виде линейную комбинацию и продиференцировать сколько нужно раз.

В ответах говорится, что нужно продифференцировать 2 раза и применить индукцию.
Кто-нибудь может объяснить зачем это?

[AV_77]

main.c в сообщении #681219 писал(а):

Кто-нибудь может объяснить зачем это?

Вы продифференцировали два раза? Что получилось?