2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача трех тел. Частное решение. Помогите подсчитать
Сообщение28.05.2007, 01:32 


28/05/07
6
может это ближе к астрономии, но физика-то рядом :-)
дано:
1) две звезды одинаковой массы, масса = солнечной (2 х 10^30 кг)
2) расстояние между звездами - пусть 2 ае (300 млн км)
3) точно посередине между звездами - планета , массой = массой Земли (6×10^24 кг)
Планету "немного" сдвинули в сторону одной из звезд, (чтоб равновесие нарушить)
вопрос:
через какое время планета упадет на звезду?
как подсчитать это время

простая задача (вроде бы), но весь запутался , помогите плиз..

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел. Частное решение. Помогите подсчитать
Сообщение28.05.2007, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
alesik писал(а):
через какое время планета упадет на звезду?


А почему Вы думаете, что упадёт?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2007, 11:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Если ничего не крутится, то - точно упадёт. Проблема в том, что тогда и звёзды упадут друг на друга, и ещё чёрт знает, что из этого случится раньше. То есть всё-таки, наверное, что-то крутится. То есть, мягко говоря, в условии чувствуется некоторая недоговорённость относительно того, чему равна начальная скорость всех фигурантов, и главное - в какой это системе координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел. Частное решение. Помогите подсчитать
Сообщение28.05.2007, 12:20 


28/05/07
6
А почему Вы думаете, что упадёт?[/quote]
но равновесие-то в точке L1 - Неустойчивое
.. вроде бы )))

Добавлено спустя 2 минуты 21 секунду:

ИСН писал(а):
Если ничего не крутится, то - точно упадёт. Проблема в том, что тогда и звёзды упадут друг на друга, и ещё чёрт знает, что из этого случится раньше. То есть всё-таки, наверное, что-то крутится. То есть, мягко говоря, в условии чувствуется некоторая недоговорённость относительно того, чему равна начальная скорость всех фигурантов, и главное - в какой это системе координат.


ну, звезды, будем считать, крутятся вокруг общего центра масс (ну и планета туда же, естессно). но планета вблизи точки L1
система координат - связанная с общим центром масс, правильное ее будет назвать вращающейся? (не силен в терминологии)

Добавлено спустя 10 минут 39 секунд:

так.. перечитал еще раз все..
видимо, мне надо извиниться за неточно поставленную задачу.
(в 2 часа ночи мысли такие путанные :-) )
итак попробуем еще раз с другого боку.

у нас с другом возник спор по поводу некоторых строк в фантастическом романе:
вот цитата
Цитата:

На планете нет понятия года. Она не вращается вокруг своих звезд, а подвешена в точке Лагранжа между ними.
...
не настоящая планета. Она была искусственно создана несколько десятков тысяч лет назад некой расой. Они расположили ее между двух звезд..

я считаю,
1) что планета скатится к одной звезде
2) это произойдет гораздо раньше десятков тысяч лет
т.е. автору необходимо немного пересмотреть идею

Добавлено спустя 38 секунд:

прав ли я? и сколько это в цифрах с вышеуказанными данными

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2007, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ага. Ну что же. Вы правы в том, что точка Лагранжа между звёздами - неустойчива (в системе есть и другие точки Лагранжа, среди них есть устойчивые). А как там будет насчёт десятков тысяч лет, это уж надо считать...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2007, 21:04 


28/05/07
6
вот в подсчете-то вся и закавыка..
хотя бы приблизительно, оценочно

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2007, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
alesik писал(а):
вот в подсчете-то вся и закавыка..
хотя бы приблизительно, оценочно


На компьютере смоделируйте. Но результат будет существенно зависеть от начального возмущения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Someone намекает на нерешаемость уравнений движения в аналитическом виде, кажется, даже если удастся свести задачу к одномерной. (А её и не удастся.)
Для оценки, впрочем, достаточно посчитать вторые производные в точке равновесия. Пока отклонение мало, оно будет расти экспоненциально.
А, чего там считать, из общих соображений ясно, что характерное время будет порядка года. Ну, вылезет там какой-нибудь глупый множитель - может, 2, может, 1/2, может, пи...
То есть отклонение в метр ("все китайцы разом взяли и подпрыгнули") за считаные десятилетия разовьётся в величину уже астрономическую.
Потом начнётся бардак.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 14:05 


28/05/07
6
Цитата:

На компьютере смоделируйте. Но результат будет существенно зависеть от начального возмущения.

это где же взять компьютер-то :-)

Добавлено спустя 3 минуты 34 секунды:

ИСН писал(а):
Someone намекает на нерешаемость уравнений движения в аналитическом виде, ...
Для оценки, впрочем, достаточно посчитать вторые производные в точке равновесия. Пока
...
А, чего там считать, из общих соображений ясно, что характерное время будет порядка года.

это из каких соображений?
и вторые производные чего?

Цитата:
за считаные десятилетия разовьётся в величину уже астрономическую.

уже десятилетия..
математика на этот вопрос не может ответить?
пусть смещение 1 м, к примеру, ну или 1 км :-))

КАК подсчитать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
alesik писал(а):
это где же взять компьютер-то :-)

А сюда Вы как пишете - силой духа? :lol:
впрочем, я уже вроде бы дал достаточно приличную оценку без компьютера.
Вторые производные чего? - потенциальной энергии. Характерное время - порядка года. Натуральный логарифм 1000 - примерно 6.9. Значит, вот за столько штук характерного времени 1 мм вырастет до 1 м. Потом ещё за столько же - 1 м до 1 км. И так далее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.05.2007, 09:47 


28/05/07
6
ИСН писал(а):
впрочем, я уже вроде бы дал достаточно приличную оценку без компьютера.
Вторые производные чего? - потенциальной энергии. Характерное время - порядка года. Натуральный логарифм 1000 - примерно 6.9. Значит, вот за столько штук характерного времени 1 мм вырастет до 1 м. Потом ещё за столько же - 1 м до 1 км. И так далее.

т.е. вы считаете, что сила взаимодействия между планетой и звездой будет расти по экспоненте? а вторая сила - противодействия - убывать по той же экспоненте? так?
желательно бы все это в формулах.
хотя бы идею. (матанализ изучался давноооо :oops: )
и еще, проверьте , плиз мои выкладки , может я все не так считаю:
если

M1 , M2 - массы звезд ( причем M1 = M2 = M )
m - масса планеты
R - начальное расстояние от планеты до звезды (1/2 расстояния между звездами)
k - смещение планеты от центра в сторону направления движения
G -гравитационная постоянная
то СИЛА гравитационного взаимодействия, в зависимости от смещения от центра (одна растет, другая - убывает)
$$F(k)= G \frac {\ M_1 m} {(R - k)^2 } - G\frac {\ M_2 m} {(R+k)^2}   = $$
числители одинаковые - их за скобки
$$ F(k)= \ G\ M\ m \left( \frac {1} {(R - k)^2 } - \frac {1} {(R+k)^2} \right)$$
далее
$$a=\frac{F}{m}$$
и
$$ a(k)= \ G\ M \left( \frac {1} {(R - k)^2 } - \frac {1} {(R+k)^2} \right) = $$
приводя к общему знаменателю и упрощая (или усложняя :-) )
$$ a(k) = GM \frac {(R+k)^2 - (R-k)^2}{(R-k)^2(R+k)^2} = \frac{4GMRk}{(R-k)^2(R+k)^2}$$
далее хотелось бы воспользоваться формулой равноускоренного движения
$$S=at^2$$
и подставив туда вот ту жуть, что получилось ранее, и считая что путь = радиусу, т.е $S=R$ и получив "красивую" формулу
$$t(k)=\frac {R^2-k^2}{\sqrt{2GMk}}$$
подсчитать время.
но тут возникает вопрос
во-первых: движение-то неРАВНОускоренное (ускорение - функция от смещения)
во-вторых: пусть и можно воспользоваться формулой, бог с ним с равно-неравным
НО КАК? ведь время - тоже функция смещения (оно и понятно - чем больше смещение, тем быстрее будет пройден путь)
короче - тут мой мозговой сопроцессор дал сбой и завис.
что делать дальше-то?
или вообще все это не нужно было? и я сам себя запутал? распутайте, плиз

Добавлено спустя 42 секунды:

не хватает практики в такого рода делах

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

но Вашу мысль-то я понял, про экспоненту, только как доказать, что это - экспонента?
может я ломлюсь в открытую дверь? и все и так есть, не понимаю..
хоть убейте - переклинило :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.05.2007, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Да, Вы немного ломитесь в открытую дверь. Смотрите, как я об этом думаю:
$$ a(x) = \frac{4GMRx}{(R-x)^2(R+x)^2}$$
до этого места всё правильно (я только поменял k на x - люто, бешено ненавижу букву k, меня в детстве кормили ими на завтрак)
дальше
покуда $x<<R$, то в знаменателе стоит приблизительно $R^4$
теперь, что такое $a(x)$? Это вторая производная $x$. То есть
$$\ddot x={4GM\over R^3}\cdot x$$
Спрашивается, что же будет решением этого диффура?
Грубо говоря, такая вот экспонента:
$$x=exp\left({\sqrt{4GM\over R^3}}\cdot t\right)\cdot const$$
теперь езжайте на станцию метро "Кеплеровская" и спрашивайте, не видел ли кто мужика с G, M, R и корнем.
Или просто можно подставить значения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.05.2007, 11:52 


28/05/07
6
ИСН писал(а):
Да, Вы немного ломитесь в открытую дверь. Смотрите, как я об этом думаю:
$$ a(x) = \frac{4GMRx}{(R-x)^2(R+x)^2}$$
до этого места всё правильно (я только поменял k на x - люто, бешено ненавижу букву k, меня в детстве кормили ими на завтрак)
дальше
покуда $x<<R$, то в знаменателе стоит приблизительно $R^4$
теперь, что такое $a(x)$? Это вторая производная $x$. То есть
$$\ddot x={4GM\over R^3}\cdot x$$
Спрашивается, что же будет решением этого диффура?
Грубо говоря, такая вот экспонента:
$$x=exp({\sqrt{4GM\over R^3}}\cdot t)\cdot const$$
теперь езжайте на станцию метро "Кеплеровская" и спрашивайте, не видел ли кто мужика с G, M, R и корнем.
Или просто можно подставить значения.

ЁПРСТ!!! а двери-то и вправду нету
"где дифуры и скульптуры, шуры-муры и паркет"
(ой простите, я использовал два раза букву К" :-))
спасибо очень большое. нет - ОГРОМНОЕ!!! за то. что глаза протерли. тряпочкой. :-)

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

думаю, тему можно закрывать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.05.2007, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Пожалуйста. Ну да, на этом в общем-то всё.
(Понятно, что "на самом деле" задача не останется одномерной даже в приближении малых $x$ - планета сойдёт с прямой, начнётся чёрт знает что - но хотели оценку по порядку величины, дак вот она).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group