Задача трех тел. Частное решение. Помогите подсчитать

[alesik]

может это ближе к астрономии, но физика-то рядом
дано:
1) две звезды одинаковой массы, масса = солнечной (2 х 10^30 кг)
2) расстояние между звездами - пусть 2 ае (300 млн км)
3) точно посередине между звездами - планета , массой = массой Земли (6×10^24 кг)
Планету "немного" сдвинули в сторону одной из звезд, (чтоб равновесие нарушить)
вопрос:
через какое время планета упадет на звезду?
как подсчитать это время

простая задача (вроде бы), но весь запутался , помогите плиз..

[Someone]

alesik писал(а):

через какое время планета упадет на звезду?

А почему Вы думаете, что упадёт?

[ИСН]

Если ничего не крутится, то - точно упадёт. Проблема в том, что тогда и звёзды упадут друг на друга, и ещё чёрт знает, что из этого случится раньше. То есть всё-таки, наверное, что-то крутится. То есть, мягко говоря, в условии чувствуется некоторая недоговорённость относительно того, чему равна начальная скорость всех фигурантов, и главное - в какой это системе координат.

[alesik]

А почему Вы думаете, что упадёт?[/quote]
но равновесие-то в точке L1 - Неустойчивое
.. вроде бы )))

Добавлено спустя 2 минуты 21 секунду:

ИСН писал(а):

Если ничего не крутится, то - точно упадёт. Проблема в том, что тогда и звёзды упадут друг на друга, и ещё чёрт знает, что из этого случится раньше. То есть всё-таки, наверное, что-то крутится. То есть, мягко говоря, в условии чувствуется некоторая недоговорённость относительно того, чему равна начальная скорость всех фигурантов, и главное - в какой это системе координат.

ну, звезды, будем считать, крутятся вокруг общего центра масс (ну и планета туда же, естессно). но планета вблизи точки L1
система координат - связанная с общим центром масс, правильное ее будет назвать вращающейся? (не силен в терминологии)

Добавлено спустя 10 минут 39 секунд:

так.. перечитал еще раз все..
видимо, мне надо извиниться за неточно поставленную задачу.
(в 2 часа ночи мысли такие путанные )
итак попробуем еще раз с другого боку.

у нас с другом возник спор по поводу некоторых строк в фантастическом романе:
вот цитата

Цитата:

На планете нет понятия года. Она не вращается вокруг своих звезд, а подвешена в точке Лагранжа между ними.
...
не настоящая планета. Она была искусственно создана несколько десятков тысяч лет назад некой расой. Они расположили ее между двух звезд..

я считаю,
1) что планета скатится к одной звезде
2) это произойдет гораздо раньше десятков тысяч лет
т.е. автору необходимо немного пересмотреть идею

Добавлено спустя 38 секунд:

прав ли я? и сколько это в цифрах с вышеуказанными данными

[ИСН]

Ага. Ну что же. Вы правы в том, что точка Лагранжа между звёздами - неустойчива (в системе есть и другие точки Лагранжа, среди них есть устойчивые). А как там будет насчёт десятков тысяч лет, это уж надо считать...

[alesik]

вот в подсчете-то вся и закавыка..
хотя бы приблизительно, оценочно

[Someone]

alesik писал(а):

вот в подсчете-то вся и закавыка..
хотя бы приблизительно, оценочно

На компьютере смоделируйте. Но результат будет существенно зависеть от начального возмущения.

[ИСН]

Someone намекает на нерешаемость уравнений движения в аналитическом виде, кажется, даже если удастся свести задачу к одномерной. (А её и не удастся.)
Для оценки, впрочем, достаточно посчитать вторые производные в точке равновесия. Пока отклонение мало, оно будет расти экспоненциально.
А, чего там считать, из общих соображений ясно, что характерное время будет порядка года. Ну, вылезет там какой-нибудь глупый множитель - может, 2, может, 1/2, может, пи...
То есть отклонение в метр ("все китайцы разом взяли и подпрыгнули") за считаные десятилетия разовьётся в величину уже астрономическую.
Потом начнётся бардак.

[alesik]

Цитата:

На компьютере смоделируйте. Но результат будет существенно зависеть от начального возмущения.

это где же взять компьютер-то

Добавлено спустя 3 минуты 34 секунды:

ИСН писал(а):

Someone намекает на нерешаемость уравнений движения в аналитическом виде, ...
Для оценки, впрочем, достаточно посчитать вторые производные в точке равновесия. Пока
...
А, чего там считать, из общих соображений ясно, что характерное время будет порядка года.

это из каких соображений?
и вторые производные чего?

Цитата:

за считаные десятилетия разовьётся в величину уже астрономическую.

уже десятилетия..
математика на этот вопрос не может ответить?
пусть смещение 1 м, к примеру, ну или 1 км )

КАК подсчитать?

[ИСН]

alesik писал(а):

это где же взять компьютер-то

А сюда Вы как пишете - силой духа?
впрочем, я уже вроде бы дал достаточно приличную оценку без компьютера.
Вторые производные чего? - потенциальной энергии. Характерное время - порядка года. Натуральный логарифм 1000 - примерно 6.9. Значит, вот за столько штук характерного времени 1 мм вырастет до 1 м. Потом ещё за столько же - 1 м до 1 км. И так далее.

[alesik]

ИСН писал(а):

впрочем, я уже вроде бы дал достаточно приличную оценку без компьютера.
Вторые производные чего? - потенциальной энергии. Характерное время - порядка года. Натуральный логарифм 1000 - примерно 6.9. Значит, вот за столько штук характерного времени 1 мм вырастет до 1 м. Потом ещё за столько же - 1 м до 1 км. И так далее.

т.е. вы считаете, что сила взаимодействия между планетой и звездой будет расти по экспоненте? а вторая сила - противодействия - убывать по той же экспоненте? так?
желательно бы все это в формулах.
хотя бы идею. (матанализ изучался давноооо )
и еще, проверьте , плиз мои выкладки , может я все не так считаю:
если

M1 , M2 - массы звезд ( причем M1 = M2 = M )
m - масса планеты
R - начальное расстояние от планеты до звезды (1/2 расстояния между звездами)
k - смещение планеты от центра в сторону направления движения
G -гравитационная постоянная
то СИЛА гравитационного взаимодействия, в зависимости от смещения от центра (одна растет, другая - убывает)

$$F(k)= G \frac {\ M_1 m} {(R - k)^2 } - G\frac {\ M_2 m} {(R+k)^2} = $$

числители одинаковые - их за скобки

$$ F(k)= \ G\ M\ m \left( \frac {1} {(R - k)^2 } - \frac {1} {(R+k)^2} \right)$$

далее

$$a=\frac{F}{m}$$

и

$$ a(k)= \ G\ M \left( \frac {1} {(R - k)^2 } - \frac {1} {(R+k)^2} \right) = $$

приводя к общему знаменателю и упрощая (или усложняя )

$$ a(k) = GM \frac {(R+k)^2 - (R-k)^2}{(R-k)^2(R+k)^2} = \frac{4GMRk}{(R-k)^2(R+k)^2}$$

далее хотелось бы воспользоваться формулой равноускоренного движения

$$S=at^2$$

и подставив туда вот ту жуть, что получилось ранее, и считая что путь = радиусу, т.е $S=R$ и получив "красивую" формулу

$$t(k)=\frac {R^2-k^2}{\sqrt{2GMk}}$$

подсчитать время.
но тут возникает вопрос
во-первых: движение-то неРАВНОускоренное (ускорение - функция от смещения)
во-вторых: пусть и можно воспользоваться формулой, бог с ним с равно-неравным
НО КАК? ведь время - тоже функция смещения (оно и понятно - чем больше смещение, тем быстрее будет пройден путь)
короче - тут мой мозговой сопроцессор дал сбой и завис.
что делать дальше-то?
или вообще все это не нужно было? и я сам себя запутал? распутайте, плиз

Добавлено спустя 42 секунды:

не хватает практики в такого рода делах

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

но Вашу мысль-то я понял, про экспоненту, только как доказать, что это - экспонента?
может я ломлюсь в открытую дверь? и все и так есть, не понимаю..
хоть убейте - переклинило

[ИСН]

Да, Вы немного ломитесь в открытую дверь. Смотрите, как я об этом думаю:

$$ a(x) = \frac{4GMRx}{(R-x)^2(R+x)^2}$$

до этого места всё правильно (я только поменял k на x - люто, бешено ненавижу букву k, меня в детстве кормили ими на завтрак)
дальше
покуда $x<<R$, то в знаменателе стоит приблизительно $R^4$
теперь, что такое $a(x)$? Это вторая производная $x$. То есть

$$\ddot x={4GM\over R^3}\cdot x$$

Спрашивается, что же будет решением этого диффура?
Грубо говоря, такая вот экспонента:

$$x=exp\left({\sqrt{4GM\over R^3}}\cdot t\right)\cdot const$$

теперь езжайте на станцию метро "Кеплеровская" и спрашивайте, не видел ли кто мужика с G, M, R и корнем.
Или просто можно подставить значения.

[alesik]

ИСН писал(а):

Да, Вы немного ломитесь в открытую дверь. Смотрите, как я об этом думаю:

$$ a(x) = \frac{4GMRx}{(R-x)^2(R+x)^2}$$

до этого места всё правильно (я только поменял k на x - люто, бешено ненавижу букву k, меня в детстве кормили ими на завтрак)
дальше
покуда $x<<R$, то в знаменателе стоит приблизительно $R^4$
теперь, что такое $a(x)$? Это вторая производная $x$. То есть

$$\ddot x={4GM\over R^3}\cdot x$$

Спрашивается, что же будет решением этого диффура?
Грубо говоря, такая вот экспонента:

$$x=exp({\sqrt{4GM\over R^3}}\cdot t)\cdot const$$

теперь езжайте на станцию метро "Кеплеровская" и спрашивайте, не видел ли кто мужика с G, M, R и корнем.
Или просто можно подставить значения.

ЁПРСТ!!! а двери-то и вправду нету
"где дифуры и скульптуры, шуры-муры и паркет"
(ой простите, я использовал два раза букву К" )
спасибо очень большое. нет - ОГРОМНОЕ!!! за то. что глаза протерли. тряпочкой.

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

думаю, тему можно закрывать?

[ИСН]

Пожалуйста. Ну да, на этом в общем-то всё.
(Понятно, что "на самом деле" задача не останется одномерной даже в приближении малых $x$ - планета сойдёт с прямой, начнётся чёрт знает что - но хотели оценку по порядку величины, дак вот она).