геометрия (ГИА)

[kda_ximik]

Около окружности описана трапеция $ABCD$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, $M$- точка перес диагоналей. $S_{CMD}=S$. Найти радиус окружности.

Не знаю с чего начать... Сразу видно, что $S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMD}=S$. Треугольники $AMD$ и $BMC$ подобны.
Не уверен, что центр вписанной окружности совпадает с $M$. Возможно, они лежат на одной прямой, параллельной стороне $AB$. Более того, если имеем впис/окружность, то суммы противоположных сторон у трапеции равны.

[gris]

Можно предположить, что и вторая сторона перпендикулярна основаниям, то есть трапеция превращается в квадрат. Тогда ответ получается устно. Но это надо обосновать.

[Munin]

kda_ximik в сообщении #679828 писал(а):

Сразу видно, что $S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMD}=S$.

Как это?

kda_ximik в сообщении #679828 писал(а):

Не уверен, что центр вписанной окружности совпадает с $M$.

Конечно, не совпадает.

[Cash]

Там описка. Наверняка имелось в виду
$S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMB}=S$

[Munin]

Наверняка описка. Но точно я не знаю, а додумывать за собеседника вредно. Особенно когда собеседник - ученик, пытающийся решить задачу. Пускай сам видит и исправляет свои ошибки, а не привыкает, что кто-то другой за него это делает.

[kda_ximik]

Munin в сообщении #679955 писал(а):

Особенно когда собеседник - ученик

Я закончил школу много лет назад, поэтому "ученик" - это не про меня

-- 04.02.2013, 23:22 --

Munin в сообщении #679905 писал(а):

kda_ximik в сообщении #679828 писал(а):

Сразу видно, что $S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMD}=S$.

Как это?

Да, вышла опечатка. Но не думал, что меня так отгавкают...
чтоб площади треугольников $CMD$ и $AMB$ были одинаковыми, должно выполняться соотношение
$\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BM\cdot sin\alpha =\frac{1}{2}\cdot MC\cdot MD\cdot sin\alpha $
т.е. $AM\cdot BM =MC\cdot MD$
это соотношение легко получается из подобия треугольников $AMD$ и $BMC$

[ewert]

Что площади тех двух треугольников одинаковы -- это тривиально, никаких синусов для этого не нужно.

А вот что те одинаковые площади не зависят от наклона правой стороны -- это уже требует некоторого занудства, с какой стороны ни погляди.

Можно, например, ввести в рассмотрение два параметра: расстояние от правой верхней вершины до соответствующей ей точки касания с одной стороны -- и расстояние для правой нижней аналогично. И заметить, чуток поразмыслив, что произведение этих двух расстояний равно квадрату радиуса. И потом теми или иными пропорциями (там есть разные варианты) прийти к нужному результату. Это шаблонно, но это и морока.

Ну или угадать какой сугубо геометрический трюк. Но он заведомо выйдет (если выйдет) нестандартным.

Это совершенно неприлично для ГИА.

[Munin]

kda_ximik в сообщении #680067 писал(а):

Да, вышла опечатка. Но не думал, что меня так отгавкают...

Приношу извинения.

[Батороев]

ewert в сообщении #680084 писал(а):

Ну или угадать какой сугубо геометрический трюк. Но он заведомо выйдет (если выйдет) нестандартным.
Это совершенно неприлично для ГИА.

Задача в дальнейшем потребует (по моей версии) доказательства двух утверждений:
1) отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции;
2) диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен среднему гармоническому оснований трапеции.

[TOTAL]

$$S=R \cdot \frac{AD \cdot BC}{AD + BC}=R^2,$$

т.к. по теореме Пифагора

$$(BC + AD -2R)^2=4R^2 + (BC - AD)^2$$

[matidiot]

Если переформулировать задачу: Дана трапеция с основаниями a, b, где боковая сторона перпендикулярна им, надо определить радиус вписанной окружности, тогда $r=\frac {ab} {a+b}$. С другой стороны, известно, что отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения М диагоналей, равен $r=\frac {2ab} {a+b}$ и делится в этой точке пополам, тогда высота, опущенная из М на сторону АВ, равна в точности r. Отсюда площадь левого бокового треугольника АМВ равна $r^2$, с другой стороны, она равна заданной площади S правого бокового треугольника CMD, откуда следует простой ответ $r=\sqrt {S}$

[kda_ximik]

Спасибо Всем кто поучаствовал в решении задачи!!!
Но задачка реально оказалась не по уровню ГИА, если сравнивать аналогичные номера из различных вариантов

-- 05.02.2013, 14:37 --

Батороев в сообщении #680169 писал(а):

ewert в сообщении #680084 писал(а):

Задача в дальнейшем потребует (по моей версии) доказательства двух утверждений:
1) отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции;
2) диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен среднему гармоническому оснований трапеции.

Уважаемый Батороев! Такие задачки, на мой взгляд, нужно выделять отдельные номера ГИА. Спасибо!!!

[_Ivana]

ewert в сообщении #680084 писал(а):

Ну или угадать какой сугубо геометрический трюк. Но он заведомо выйдет (если выйдет) нестандартным.

Когда сразу не очевидны геометрические трюки, можно попробовать воспользоваться читерским методом - ввести систему координат, записать координаты вершин, уравнения сторон, диагоналей, условий и т.п. и попробовать покрутить чисто алгебраически эти уравнения. В данной задаче не пробовал, но навскидку - наша трапеция однозначно задается тремя неизвестными параметрами, причем сразу видны 2 связи - она является описанной вокруг окружности (расстояние от известной точки ее центра до боковой грани равно половине высоты) и известна площадь треугольника (координаты точки пересечения диагоналей можно найти, по координатам трех точек вычислить площадь). Если исходных данных достаточно для однозначного решения задачи, то в результате преобразований должно все что надо сократиться и получиться в результате хорошо

[ewert]

_Ivana в сообщении #680219 писал(а):

можно попробовать воспользоваться читерским методом - ввести систему координат,

Здесь это излишне -- достаточно элементарных и общеизвестных соотношений. Конечно, неявно это сведётся к координатному методу, но явно к нему прибегать нет необходимости. Вот только элементарных соображений (если они воистину элементарны) многовато понадобится. Спецтеоремы же -- неспортивны.

[Батороев]

ewert в сообщении #680342 писал(а):

Вот только элементарных соображений (если они воистину элементарны) многовато понадобится. Спецтеоремы же -- неспортивны.

Утверждения, которые я привел (если Ваша цитата относится к ним), доказываются довольно просто:
1) выводится через подобие треугольников $BAD$ и $BEM$, $CAD$ и $CMF$ (где $E, F$ точки пересечения прямой, параллельной основаниям и проходящей через $M$, с боковыми сторонами).
2) привел TOTAL