2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 10:48 
Около окружности описана трапеция $ABCD$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, $M$- точка перес диагоналей. $S_{CMD}=S$. Найти радиус окружности.
Изображение
Не знаю с чего начать... Сразу видно, что $S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMD}=S$. Треугольники $AMD$ и $BMC$ подобны.
Не уверен, что центр вписанной окружности совпадает с $M$. Возможно, они лежат на одной прямой, параллельной стороне $AB$. Более того, если имеем впис/окружность, то суммы противоположных сторон у трапеции равны.
:facepalm: :facepalm:

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 11:00 
Аватара пользователя
Можно предположить, что и вторая сторона перпендикулярна основаниям, то есть трапеция превращается в квадрат. Тогда ответ получается устно. Но это надо обосновать.

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 15:42 
Аватара пользователя
kda_ximik в сообщении #679828 писал(а):
Сразу видно, что $S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMD}=S$.

Как это?

kda_ximik в сообщении #679828 писал(а):
Не уверен, что центр вписанной окружности совпадает с $M$.

Конечно, не совпадает.

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 17:05 
Там описка. Наверняка имелось в виду
$S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMB}=S$

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 17:39 
Аватара пользователя
Наверняка описка. Но точно я не знаю, а додумывать за собеседника вредно. Особенно когда собеседник - ученик, пытающийся решить задачу. Пускай сам видит и исправляет свои ошибки, а не привыкает, что кто-то другой за него это делает.

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 22:13 
Munin в сообщении #679955 писал(а):
Особенно когда собеседник - ученик

Я закончил школу много лет назад, поэтому "ученик" - это не про меня :D

-- 04.02.2013, 23:22 --

Munin в сообщении #679905 писал(а):
kda_ximik в сообщении #679828 писал(а):
Сразу видно, что $S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMD}=S$.

Как это?

Да, вышла опечатка. Но не думал, что меня так отгавкают...
чтоб площади треугольников $CMD$ и $AMB$ были одинаковыми, должно выполняться соотношение
$\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BM\cdot sin\alpha =\frac{1}{2}\cdot MC\cdot MD\cdot sin\alpha $
т.е. $AM\cdot BM =MC\cdot MD$
это соотношение легко получается из подобия треугольников $AMD$ и $BMC$

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 23:04 
Что площади тех двух треугольников одинаковы -- это тривиально, никаких синусов для этого не нужно.

А вот что те одинаковые площади не зависят от наклона правой стороны -- это уже требует некоторого занудства, с какой стороны ни погляди.

Можно, например, ввести в рассмотрение два параметра: расстояние от правой верхней вершины до соответствующей ей точки касания с одной стороны -- и расстояние для правой нижней аналогично. И заметить, чуток поразмыслив, что произведение этих двух расстояний равно квадрату радиуса. И потом теми или иными пропорциями (там есть разные варианты) прийти к нужному результату. Это шаблонно, но это и морока.

Ну или угадать какой сугубо геометрический трюк. Но он заведомо выйдет (если выйдет) нестандартным.

Это совершенно неприлично для ГИА.

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 23:10 
Аватара пользователя
kda_ximik в сообщении #680067 писал(а):
Да, вышла опечатка. Но не думал, что меня так отгавкают...

Приношу извинения.

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 10:50 
ewert в сообщении #680084 писал(а):
Ну или угадать какой сугубо геометрический трюк. Но он заведомо выйдет (если выйдет) нестандартным.
Это совершенно неприлично для ГИА.

Задача в дальнейшем потребует (по моей версии) доказательства двух утверждений:
1) отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции;
2) диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен среднему гармоническому оснований трапеции.

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 12:43 
Аватара пользователя
$$S=R \cdot \frac{AD \cdot BC}{AD + BC}=R^2,$$
т.к. по теореме Пифагора
$$(BC + AD -2R)^2=4R^2 + (BC - AD)^2$$

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 13:25 
Если переформулировать задачу: Дана трапеция с основаниями a, b, где боковая сторона перпендикулярна им, надо определить радиус вписанной окружности, тогда $r=\frac {ab} {a+b}$. С другой стороны, известно, что отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения М диагоналей, равен $r=\frac {2ab} {a+b}$ и делится в этой точке пополам, тогда высота, опущенная из М на сторону АВ, равна в точности r. Отсюда площадь левого бокового треугольника АМВ равна $r^2$, с другой стороны, она равна заданной площади S правого бокового треугольника CMD, откуда следует простой ответ $r=\sqrt {S}$

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 13:33 
Спасибо Всем кто поучаствовал в решении задачи!!!
Но задачка реально оказалась не по уровню ГИА, если сравнивать аналогичные номера из различных вариантов

-- 05.02.2013, 14:37 --

Батороев в сообщении #680169 писал(а):
ewert в сообщении #680084 писал(а):
Задача в дальнейшем потребует (по моей версии) доказательства двух утверждений:
1) отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции;
2) диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен среднему гармоническому оснований трапеции.

Уважаемый Батороев! Такие задачки, на мой взгляд, нужно выделять отдельные номера ГИА. Спасибо!!!

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 13:39 
ewert в сообщении #680084 писал(а):
Ну или угадать какой сугубо геометрический трюк. Но он заведомо выйдет (если выйдет) нестандартным.
Когда сразу не очевидны геометрические трюки, можно попробовать воспользоваться читерским методом - ввести систему координат, записать координаты вершин, уравнения сторон, диагоналей, условий и т.п. и попробовать покрутить чисто алгебраически эти уравнения. В данной задаче не пробовал, но навскидку - наша трапеция однозначно задается тремя неизвестными параметрами, причем сразу видны 2 связи - она является описанной вокруг окружности (расстояние от известной точки ее центра до боковой грани равно половине высоты) и известна площадь треугольника (координаты точки пересечения диагоналей можно найти, по координатам трех точек вычислить площадь). Если исходных данных достаточно для однозначного решения задачи, то в результате преобразований должно все что надо сократиться и получиться в результате хорошо :-)

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 17:41 
_Ivana в сообщении #680219 писал(а):
можно попробовать воспользоваться читерским методом - ввести систему координат,

Здесь это излишне -- достаточно элементарных и общеизвестных соотношений. Конечно, неявно это сведётся к координатному методу, но явно к нему прибегать нет необходимости. Вот только элементарных соображений (если они воистину элементарны) многовато понадобится. Спецтеоремы же -- неспортивны.

 
 
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение06.02.2013, 06:12 
ewert в сообщении #680342 писал(а):
Вот только элементарных соображений (если они воистину элементарны) многовато понадобится. Спецтеоремы же -- неспортивны.

Утверждения, которые я привел (если Ваша цитата относится к ним), доказываются довольно просто:
1) выводится через подобие треугольников $BAD$ и $BEM$, $CAD$ и $CMF$ (где $E, F$ точки пересечения прямой, параллельной основаниям и проходящей через $M$, с боковыми сторонами).
2) привел TOTAL

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group