Не инерциальные СО

[mario is]

На горизонтальном вращающемся диске стоит цилиндр. При какой угловой скорости $\omega$ цилиндр свалится с диска, если расстояние между осями диска и цилиндра R , а коэффициент трения
k>D/h, где D — диаметр цилиндра, h — его высота.
Помогите решить пжл.
мой ответ-$\omega=\sqrt{\frac {gD} {Rh}}$
ответ в методичке-$\omega=\sqrt{\frac{ Dg} {kh}}$
решал через моменты сил, то есть приравнял момент силы реакции опоры и центробежной силы
$ND=m\omega^2 Rh$

[nikvic]

Ответ в меточке не проходит по размерности. Ваш - верен в том смысле, что цилиндр опрокинется.

[Munin]

Скорее всего, опечатка в методичке. Их ответ даже по размерности не подходит.

-- 04.02.2013 19:02:03 --

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #679960 писал(а):

Ваш - верен в том смысле, что цилиндр опрокинется.

А вот тут что-то я сомневаюсь. Надо честно интегрировать, а лень. Ответ верен в предположении, что $D\ll R.$

[nikvic]

Munin в сообщении #679962 писал(а):

А вот тут что-то я сомневаюсь. Надо честно интегрировать, а лень. Ответ верен в предположении, что

Рассматривается задача статики, форма не меняется.
Крит. ситуация - опора на дальнюю точку основания. При наклончике вовне центробежка увеличивается, её плечо растёт, а плечо тяжести уменьшается.

[Munin]

Всё бы хорошо, но формула центробежного ускорения выводится для точки. А если есть протяжённое тело, то по нему интегрировать нужно (кстати, силу, а не ускорение).

[nikvic]

Munin в сообщении #679976 писал(а):

Всё бы хорошо, но формула центробежного ускорения выводится для точки. А если есть протяжённое тело, то по нему интегрировать нужно (кстати, силу, а не ускорение).

Нет проблем: в качестве точки берётся ЦМ в точности. Эта нехитрая теорема используется (использовалась?) и в школьных задачах.
Так что единствнное подразумеваемое в условии - однородность цилиндра, например.

[Oleg Zubelevich]

Интегрировать не надо. Надо написать теорему о движении центра масс
и теорему изменения момента количества движения. И с неинерциальными системами вообще не заморачиваться

[Munin]

nikvic в сообщении #679979 писал(а):

Нет проблем: в качестве точки берётся ЦМ в точности. Эта нехитрая теорема используется (использовалась?) и в школьных задачах.

А нельзя ли эту нехитрую теорему где-нибудь увидеть?

[nikvic]

Это скорее фольклор
Запишите формулу центробежки для точечной массы и её радиус-вектора (от точки на оси), просуммируйте. Линейный оператор вынесется...

Заметьте, что это верно для любой массовой силы, ускорение для которой описывается линейным оператором от положения.

[Oleg Zubelevich]

Пусть $S$ -- центр масс цилиндра $\overline T,\overline R$ -- сила трения и вертикальная сила реакции со стороны диска на цилиндр. Обе силы приложены к точке основания цилиндра, которая максимально удалена от оси вращения. Эту точку обозначим за $Q$
Имеем

$$m\overline a_S=\overline R+\overline T+m\overline g,\quad [\overline\omega,J_S\overline\omega]=\overline M_S=[\overline{SQ},\overline R+\overline T]$$

$\overline a_S,\overline\omega$ -- известны Эти уравнения написаны в предположении что цилиндр не заскользит и опрокинется $|\overline T|\le k|\overline R|$

[Munin]

nikvic в сообщении #680003 писал(а):

Запишите формулу центробежки для точечной массы и её радиус-вектора (от точки на оси), просуммируйте.

Ну лень же! Вот злыдень...

[nikvic]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #680019 писал(а):

Ну лень же! Вот злыдень...

Вот я и ограничился "линейным оператором".
Вместо "квадратного трёхчлена", которого я в ТЕХе и вообразить-то не могу

[Oleg Zubelevich]

затер

[nikvic]

Ну, вот...
С ответом автора всё в порядке.

[Oleg Zubelevich]

а мне вот интересно, для того чтоб решить задачу нужны предположения относительно распределения масс в цилиндре. условия того, что центр масс находится посередине оси цилиндра недостаточно. Вот кто решал как нибудь использовал дополнительные предположения о распределении масс?