Уравнение в целых числах

[Twidobik]

Решить в целых числах такое уравнение
${x^{y - 2}} = {y^{\sqrt x }}$
Одно решение точно есть: 16; 4 и в существовании других я сомневаюсь. Но как доказать отсутствие других решений или их найти в случае существования? Помогите пожалуйста

[Someone]

$(1;1)$

[Twidobik]

Как же я проморгал такое элементарное решение. Я пробовал водить замену, но новая переменная ничего не дает. Натолкните на мысль

[VAL]

$(4;4)$

[Twidobik]

(Оффтоп)

Все, чувствую, пора мне идти полы мыть в театре

Я заменял $y = mx$, но чистая $m$ не выражается. Или это она у меня не выражается только?

[Mathusic]

Twidobik в сообщении #679698 писал(а):

Я заменял $y = mx$

Почему так?

[Shadow]

Положим $x=z^2$ , получим уравнение $z^{2y-4}=y^z$. z и y разлагаются на одинаковые простые множители (в разных степенях). Допустим, имеют простой множитель $p>2$. $z=p^az_1, y=p^by_1$ Тогда должно выполнятся равенство $2a(y-2)=bz=bp^az_1$ Какие из множителей левой части могут делится на p?

[nnosipov]

Задача вроде бы для школьников, но доказать школьными методами, что $x$ обязано быть точным квадратом, вряд ли возможно. Зачем в таком случае столь вычурные формулировки с $\sqrt{x}$?

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #679866 писал(а):

Задача вроде бы для школьников, но доказать школьными методами, что $x$ обязано быть точным квадратом, вряд ли возможно. Зачем в таком случае столь вычурные формулировки с $\sqrt{x}$?

То есть доказать, что $a^{\sqrt{b}} (a,b>1)$ -- нецелое (при $b$ - неквадрате)?
Действительно, наверно, авторами это утверждение подразумевается очевидным.

[nnosipov]

Откровенный моветон так формулировать школьные задачи.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #679869 писал(а):

Откровенный моветон так формулировать школьные задачи.

Абсолютно согласен! А я даже не обратил внимания на эту "мелочь".
Притом, что используя только "школьные методы" можно привести пример целого в иррациональной степени, которое целое (при изучении логарифмов даже разбирается, вроде?) $2^{\log_2 5}=5$

[nnosipov]

Совершенно случайно я пару часов назад обсуждал со школьниками, как решать в натуральных числах сходное, но более простое уравнение: $x^y=y^x$. Здесь быстрее приводит к цели такой приём: представим $x=dx_1$, $y=dy_1$, где $d=\gcd{(x,y)}$. Получается либо $x_1=1$, либо $y_1=1$. И в случае уравнения ТС так же можно рассуждать, однако возни с оценками будет больше.