эргодичность отображения

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим отображение $T:I\to I,\quad I=[0,1]$
$T(x)=2x$ при $x\in [0,1/2]$ и $T(x)=2-2x$ при $x\in [1/2,1]$.

Доказать, что если $f\in L^1(I)$ и $f(T(x))=f(x)$ -- почти всюду, то $f(x)=const$ -- п.в.

(Факт разумеется стандартный, но интересно догадаться самому )

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #679059 писал(а):

интересно догадаться самому

До чего догадываться? Обычное отображение пекаря: сложил - раскатал, сложил - раскатал... Интуитивно ясно, что дораскатываешься так только до полного Фейгенбаума.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #679067 писал(а):

Обычное отображение пекаря: сло

это не отображение пекаря

[Утундрий]

Сложил пополам и растянул вдвое это не отображение пекаря?

[Oleg Zubelevich]

"отображение пекаря" это стандартный термин, посмотрите где-нибудь, что он значит хоть в гугле baker map.
Я в этой ветке обсуждаю доказательства сформулированного утверждения.

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #679390 писал(а):

"отображение пекаря" это стандартный термин

Уболтали, пусть будет "отображение одномерного пекаря".

Oleg Zubelevich в сообщении #679390 писал(а):

Я в этой ветке обсуждаю доказательства сформулированного утверждения.

Найдем периодическую точку периода три и сошлемся на теорему Шарковского.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #679396 писал(а):

Найдем периодическую точку периода три и сошлемся на теорему Шарковского.

подробно, пожалуйста, напишите доказательство эргодичности, основанное на этой теореме (наличие 3-периодической траектории тоже надо проверять, но это пока сочтем правдоподобным)

[Утундрий]

Наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Модуль производной отображения и всех его итераций всюду - а значит и во всех периодических точках - больше единицы. Это значит, что все периодические точки неустойчивы. Так что нам не удастся разнести константу во все тайные уголки отрезка только в случае строгого попадания в какую-то периодическую точку. Ну а множество таких точек не более чем счётно, т.е. имеет меру нуль.

[g______d]

Рассмотрим функцию $g$ на $[0;2]$, совпадающую с $f$ на $[0;1]$, и $g(x)=f(2-x)$ на $[1;2]$. Тогда $(Tf)(x)=g(2x \mod 2)$. Таким образом, достаточно показать эргодичность отображения $T'\colon [0;2]\to [0;2]$, $x\mapsto 2x\mod 2$. Возьмем функцию $g\in L_1[0;2]$, посмотрим на коэффициенты Фурье. Ясно, что $\widehat{(T'g)}_{2k}=\hat{g}_k$. Таким образом, если у $g$ есть ненулевой коэффициент при $k\neq 0$, то придем к противоречию с тем, что $\hat{g}_k\to 0$.

[Oleg Zubelevich]

g______d
ну да, мой вариант сложнее. А что у нас с рядами Фурье в $L^1$? Там ведь сходимости по норме может не быть как я помню

Утундрий
напишите пожалуйста формально, какие константы, какие углы, что разносит, понять ведь ничнго нельзя

[Oleg Zubelevich]

впрочем ряды Фурье не нужны, нужны только коэффициенты Задача решена полнстью g______d.

[scwec]

Попробую рашифровать некоторые моменты из доказательства Утундрий.
Тентообразное отображение $T$ топологически сопряжено с квадратичным отображением (отображением Фейгенбаума) $x\to4{x(1-x)}$.
Про квадратичное оображение много чего известно. Начиная с $\lambda=1+\sqrt{8}$ (у нас $\lambda=4$) появляется орбита периода $3$ и, следовательно, орбиты любых периодов, причем периодические точки есть в любой окрестности любой точки $[0,1]$. Что важно, существует плотная орбита, замыкание которой есть $[0,1]$. Поскольку $f(x)=\operatorname{const}$ на этой орбите, а мера множества периодических точек равна нулю, то делается вывод, что $f(x)=\operatorname{const}$ п.в.(т.е. кроме множества меры нуль). А на самом деле вывод можно сделать только тот, что $f(x)=\operatorname{const}$ на всюду плотном подмножестве $[0,1]$.
Может ведь существовать бесконечно много других плотных орбит, на которых $f(x)$ будет принимать другие значения. Если $f(x)$ непрерывна, тогда это доказательство проходит и $f(x)$ постоянна на $[0,1]$ . Или нужно что-то добавить к доказательству.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #679598 писал(а):

Поскольку $f(x)=\operatorname{const}$ на этой орбите,

бессмысленно говорить о значении элемента из $L^1$ на множестве меры нуль

-- Вс фев 03, 2013 17:02:48 --

что Вы ниже и написали, pardon

-- Вс фев 03, 2013 17:04:07 --

scwec в сообщении #679598 писал(а):

Что важно, существует плотная орбита, замыкание которой есть $[0,1]$

а это откуда следует? и что такое "полная орбита"?

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #679602 писал(а):

а это откуда следует?

Исключительно из учебников.
Не знаю что такое "полная орбита".

[Oleg Zubelevich]

это что следствие какой-то общей теоремы или это специальный факт для треугольного отображения?

-- Вс фев 03, 2013 17:10:08 --

еще раз pardon вместо "плотная" прочитал "полная"
Вы тоже хороши, "плотная орбита замыкание которой есть [0,1]" -- масло масляное

-- Вс фев 03, 2013 17:11:07 --

ну я, собственно, и не ожидал, что там будет доказательство.