Отображения

[Nikolai Moskvitin]

По данному мне совету начал изучать отображения -по Кострикину: "Введение в алгебру. Основы алгебры" М,1994. Возникли трудности в понимании понятия"тождественное" отображение (что такое "инъективное" и "сюрьективное", понял).
Первый вопрос: можно ли представлять тождественное отображение как "перемещение множества в пространстве" в определённых случаях(условно, конечно)?
Немного подумав, решил что тождественное отображение просто фиксирует по некоторому закону элементы множества, к которому оно применяется.
Второй вопрос: но ведь есть элементы в множестве, которые нельзя получить тождественным отображением, тогда получается, что отображаемое множество сужается?
Теорема 2: "Отображение $f:X\rightarrow{Y}$тогда и только тогда имеет обратное, когда оно взаимооднозначно" Я не понял, почему отсюда следует, что $(f^{-1})^{-1}=f$. Может быть, это вытекает из взаимооднозначности $f$ и $f^{-1}$?
Теорема 3:"если $X$-конечное множество и преобразование $f:X\rightarrow{X}$ инъективно, то оно биективно".
Цитирую часть доказательства, которая мне была непонятна: "Положим $f^k(x)=f(f...f(x)...)=f(f^{k-1}x)$, $k=0,1,2...k$
В силу конечности $X$ в этой последовательности элементов должны быть повторения". Не очень понятно, на чём основывается последнее предложение. Может быть, тождественные отображения в множестве $X$, переводя один элемент в другой, переведут его после числа шагов $n$ снова в этот же элемент ($n$-число элементов в множестве)? Но как это доказать?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: неточная постановка вопросов

Контекстная зависимость - это плохо.
1. Укажите книгу Кострикина явно (у него их 2: 1-я: Введение в алгебру. Основы алгебры, 2-я - трехтомник Введение в алгебру)
2. Если Вы под $K$ и $k$ понимаете одно и то же - исправьте символ, пишите либо везде $k$, либо везде $K$. $K$ и $k$ - это разные символы!
3.

Nikolai Moskvitin в сообщении #679136 писал(а):

Уже со 2-ой возникли трудности.

если формулировка теоремы проста (а это скорее всего так), то приведите ее здесь явно. Достаточно одному человеку выписать формулировку из книги, нежели каждому смотреть формулировку в книге.
Опишите конкретные затруднения. Что именно Вы не понимаете?
4.

Nikolai Moskvitin в сообщении #679136 писал(а):

Доказательство 3-ей не понял.
Как уяснить себе, что в конечном множестве его декартова степень$X^k$ обязательно даёт повторение при некотором $K$, а в бесконечном-нет?

Аналогичное требование. И избавьтесь от контекстной зависимости: откуда я знаю, как связана теорема 3 и некое $X^k$. Что такое $X$ (по формулировке можно понять, что $X$ - множество, но лучше написать это явно)?
5.

Nikolai Moskvitin в сообщении #679136 писал(а):

Что такое сюрьективное и инъективное отображения, понял лишь интуитивно.

Тоже лучше напишите конкретно, что именно Вам непонятно.

После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Теперь все выглядит гораздо лучше. Вернул

[kw_artem]

Цитата:

$f^k(x)=f(f...f(x)...)=f(f^{k-1}x)$, $k=0,1,2...k$

В последней записи, где $k=0,1,2...k$ Вы неверно написали, на самом деле $k=0,1,2,...$

-- 02.02.2013, 16:04 --

Вы составляете последовательность $x, f^1(x), f^2(x), f^3(x), ...$, где каждая $f^k(x)$ принимает значения только во множестве $X$, а оно само конечно, поэтому у этой бесконечной последовательности обязательно будут повторения.

-- 02.02.2013, 16:18 --

Цитата:

Теорема 2: "Отображение $f:X\rightarrow{Y}$тогда и только тогда имеет обратное, когда оно взаимооднозначно" Я не понял, почему отсюда следует, что $(f^{-1})^{-1}=f$. Может быть, это вытекает из взаимооднозначности $f$ и $f^{-1}$?

Условия для обратной функции: $ff^{-1}=e_Y, f^{-1}f=e_X$ симметричны относительно $f$ и $f^{-1}$, т.е., подробно, из того, что функция $f^{-1}$ биективна следует, что она имеет обратную. В то же время верны те условия, написанные выше, и если их рассматривать с точки зрения отображения $f^{-1}$, то оттуда получим: $f$ -- обратная к $f^{-1}$.

-- 02.02.2013, 16:25 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #679136 писал(а):

Первый вопрос: можно ли представлять тождественное отображение как "перемещение множества в пространстве" в определённых случаях(условно, конечно)?

Лучше не запариваться, а использовать и представлять его таким, как он определен математически, тем более что определение тождественного отображения несложно. Но, если я правильно Вас понял, то можно. Но нежелательно...

-- 02.02.2013, 16:32 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #679136 писал(а):

Второй вопрос: но ведь есть элементы в множестве, которые нельзя получить тождественным отображением, тогда получается, что отображаемое множество сужается?

Что Вы имеете в виду? У меня подозрение, что Вы неверно понимаете, что такое тождественное отображение.

-- 02.02.2013, 16:46 --

Вот два примера тождественного отображения:
1) $X=Y=\mathbb{R},\quad f(x)=x$;

2) $X=Y=\lbrace\text{яблоко, банан, апельсин}\rbrace,$
$f(\text{яблоко})=\text{яблоко},$
$f(\text{банан})=\text{банан},$
$f(\text{апельсин})=\text{апельсин}.$

[Nikolai Moskvitin]

kw_artem в сообщении #679170 писал(а):

Что Вы имеете в виду?

Я немного не так сказал :). Я имел в виду, что если взять конкретное правило, например, $n\rightarrow{n^2}$, и построить по нему отображение, то будут элементы, которые нельзя по нему получить. Кстати, как доказать, что всегда найдётся правило, чтобы данный элемент данного множества можно было получить из другого тем или иным тождественным отображением? И ещё- поясните, в чём существенная разница левого обратного отображения и правого обратного отображения?
Сейчас решаю упражнения из учебника Кострикина "Основы алгебры. Введение в алгебру. М,1994". Во 2-ом упражнении я столкнулся с тем, что путаю правое и левое обратное отображение. Вот задание:
"Имеет ли отображение $f:N\rightarrow{N}$, заданное правилом $n\rightarrow{n^2}$, правое обратное?" Указать для f два левых обратных." Пока что у меня получилось почему-то, что правое обратное есть (но это точно неверно: тогда бы существовало отображение $f^{-1}$, значит левое не надо было выделять).
Я взял композицию $fg=e_y$. Вспомнил, что $e_y\Leftrightarrow{e_y:Y\rightarrow{Y}}$. Но никто не мешает возводить n в любую степень двойки $2^n$, где $n$-натуральное. Тогда впрочем $f=g$.
В общем, помогите! И стоит ли мне решать дальше?

[ewert]

Nikolai Moskvitin в сообщении #679201 писал(а):

"Имеет ли отображение $f:N\rightarrow{N}$, заданное правилом $n\rightarrow{n^2}$, правое обратное?"

Поскольку возведение в квадрат стоит слева -- после его применения мы никак не сможем получить всё $\mathbb N$, какое бы отображение справа ни стояло. В общем, тут дело вовсе не в квадратичности, а всего-навсего в том, что это инъекция, но не биекция. Поэтому правого обратного быть не может, левых же -- сколько угодно.

[kw_artem]

Nikolai Moskvitin в сообщении #679201 писал(а):

И ещё- поясните, в чём существенная разница левого обратного отображения и правого обратного отображения?

их "разносторонность" проявляется в том в каком порядке композиция основной и обратной функции приводят к тождественной. Сейчас поймете, приведу определения, и Вы увидите, что в композиции правая обратная функция действует первой, а левая -- второй:
1) функция $f: X\rightarrow Y$ имеет правую обратную функцию, если существует такая функция $g: Y\rightarrow X$, что $fg:Y\rightarrow Y $ -- тождественное отображение;
2) функция $f: X\rightarrow Y$ имеет левую обратную функцию, если существует такая функция $g: Y\rightarrow X$, что $gf:X\rightarrow X $ -- тождественное отображение;

Причем может быть так, 1) что функция может иметь, например, правую обратную, но не иметь левую. Также возможны случаи 2)наоборот и 3)вообще когда не имеет никакой односторонней обратной функции.

Пример: $f:R\rightarrow \{0\}, f(x)=0$ имеет кучу правых обратных, но ни одной левой.
-- 02.02.2013, 18:17 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #679201 писал(а):

Я немного не так сказал :). Я имел в виду, что если взять конкретное правило, например, , и построить по нему отображение, то будут элементы, которые нельзя по нему получить.

Отображение здесь у Вас не тождественное. Вы говорите о тождественном отображении, которое по определению уже задано конкретным правилом($f$ -- тождественное, если: $f(x)=x, \forall x\in X $), но в тоже время изменяете правило на $n\mapsto n^2$

[Nikolai Moskvitin]

ewert в сообщении #679207 писал(а):

левых же -- сколько угодно.

Почти понял! Непонятным осталось только, почему левое обратное отображение не одно (множества натуральных чисел на множество квадратов), а их много?

[kw_artem]

Nikolai Moskvitin в сообщении #679222 писал(а):

Почти понял! Непонятным осталось только, почему левое обратное отображение не одно (множества натуральных чисел на множество квадратов), а их много?

например, $f^{-1}_1(2)=1, f^{-1}_2(2)=2,$ и т.д.

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!
Продолжаю попытки решения. Следующее упражнение (из того же учебника):
"3. Пусть$f:X\rightarrow{Y}$-- отображение и $S$,$T$- подмножества в $X$. Показать, что
$f(S\bigcup{T})=f(S)\bigcup{f(T)}$,
$f(S\bigcap{T})\subset{f(S)\bigcap{f(T)}}$. Привести пример, показывающий, что последнее включение нельзя, вообще говоря, заменить равенством."
Первое ещё как-то удалось обосновать (да и то с натяжкой): По сути, речь идёт о композиции отображений $gh$. По её определению $gh(S\bigcup{T})=g(h(S\bigcup{T}))$, но g=f и h=f. Сильные сомнения... А вот как подойти к пересечению образов?

[kw_artem]

Nikolai Moskvitin в сообщении #679465 писал(а):

идёт о композиции отображений

В задаче только одно отображение $f$, поэтому нет никакой композиции, и первое равенство неверно доказано. Попробуйте рассмотреть две ситуации: 1) если какой-то элемент $x\in f(S\cup T)$, то будет ли этот же элемент $x$ принадлежать $f(S)\cup f(T)$ 2) и наоборот;

[Nikolai Moskvitin]

В первом случае точно принадлежит. А во втором может не принадлежать. Можно ли здесь воспользоваться тем, что $f(x)\subset{y}$? Пример, показывающий, что равенство может быть не верно: подмножества в $N ${1} и {2}. Их пересечение- пустое множество. Образ пустого множества- тоже пустое множество (так ли это?). А вот образы {1} и {2} могут быть равны, если $f(1)=a$ и$ f(2)=a$. Тогда их пересечения наоборот- "всё множество".
Строго доказать всё равно не получается. Сейчас возникла мысль доказать отдельно для всех трёх видов отображений (они ведь исчерпывают всё множество отображений?). Для биективного, например, можно просто доказать, что $f(S)$ и $f(T)$ определяют разбиение (первый случай).
Для этого, например, можно воспользоваться тем, что $f(S\bigcup{T})\setminus{f(S)}$ образует некоторое множество $M$, причём его элемент может быть получен только из $T$. Значит, $f(S)$ и $f(T)$ образуют разбиение.
Для инъективного и сюрьективного, впрочем, не знаю, как доказать. Наверное, доказательство для инъективного и сюрьективного отображений можно проводить только по пути доказательства для отображения вообще.

[kw_artem]

Nikolai Moskvitin в сообщении #679486 писал(а):

В первом случае точно принадлежит. А во втором может не принадлежать. Можно ли здесь воспользоваться тем, что ? Пример, показывающий, что равенство может быть не верно: подмножества в {1} и {2}. Их пересечение- пустое множество. Образ пустого множества- тоже пустое множество (так ли это?). А вот образы {1} и {2} могут быть равны, если и. Тогда их пересечения наоборот- "всё множество".

Второй случай должен выполняться, иначе не будет знака равенства в первом примере. Что-то Вы напутали. Мы точно сейчас про первый пример говорим, где объединение множеств присутствует? (Вижу Вы везде пишете про пересечение)

[Joker_vD]

Вот определения прообраза и образа:

$$\begin{array}{l}x\in f^{-1}(B)\Longleftrightarrow f(x)\in B \\ y\in f(A)\Longleftrightarrow f^{-1}(\{y\})\cap A\ne\varnothing\end{array}$$

Первый пример:

\begin{multline*}y\in f(S\cup T)\Longleftrightarrow f^{-1}(\{y\})\cap (S\cup T)\ne\varnothing \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow (f^{-1}(\{y\})\cap S)\cup(f^{-1}(\{y\})\cap T)\ne\varnothing \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow (f^{-1}(\{y\})\cap S\ne\varnothing)\vee((f^{-1}(\{y\})\cap T\ne\varnothing) \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow (y\in f(S))\vee (y\in f(T))\Longleftrightarrow y\in f(S)\cup f(T) \end{multline*}

[Nikolai Moskvitin]

kw_artem в сообщении #679496 писал(а):

Второй случай должен выполняться, иначе не будет знака равенства в первом примере. Что-то Вы напутали. Мы точно сейчас про первый пример говорим, где объединение множеств присутствует?

Это я про второй пример писал (см. вторую часть задания и замечание к ней, там и требовалось привести пример, что равенство не всегда выполняется--это если я правильно понимаю слово "вообще"). Сейчас внимательно почитаю замечание заслуженного участника.

Заметил не сразу знак "принадлежит" в определении прообраза. Вроде знаю, что в таких случаях (когда множество является подмножеством другого множества) лучше писать знак включения. Это играет существенную роль?