Поведую, как я когда-то находил суммы степени n натурального ряда.

Способ довольно примитивный, но громоздкий с возрастанием n. Спросите, почему для меня это открытый вопрос? Очень просто: мне так и осталась непонятной закономерность, на основе которой этот алгоритм. Нашлась она эмпирическим способом, но понять откуда ноги растут - не удалось (да и было это давно).
Суть в следующем: для любого

, находя разности соседних членов каждой из последующей последовательностей (т.е. разность соседних членов

-ой последовательности образует новую

-ую), мы получим

-ую последовательность, состоящую из

.
Поясню на примере

:

тот же ряд в числах






Для бОльшей наглядности я позволил себе некоторые упрощения с единицей в начале, иначе первые несколько членов в последней последовательности будут отклоняться в ту или иную сторону от

.
Соответственно, сумму

я находил в обратном порядке, нахождением суммы каждой последующей последовательности вверх, получая искомое. Но связи между рядом

и рядом

я не нашел (точнее не разбирался в том, почему эта связь вообще существует).
Кстати, исходя из этой закономерности, для данного частного случая с

, ряд

будет всегда иметь числа, последней цифрой которых будет последняя цифра числа

(т.е.

).
В дополнение: для

будет

Возможно, я объяснил несколько косоязычно, но буду рад внести поправки, если возникнут вопросы.
