Интеграл (приложение в нефтяной индустрии)

[transmega]

Здравствуйте. Я инженер в нефтедобывающей компании. Каюсь, не могу решить интеграл
$\int\limits_0^T {\left( {{C_1} - p(t)} \right){t^2}dt} $

С1 - константа
Есть готовый ответ в учебнике, но я хочу проверить его
$\int\limits_0^T {\left( {{C_1} - p(t)} \right){t^2}dt} = {C_1} \cdot \frac{{{T^3}}}{3} - \left[ {\sum\limits_{i = 1}^N {p({t_i}){t_i}^2} + \frac{1}{2}p(T){T^2}} \right] \cdot \Delta t$
Условие:
в скважине замеряется рост давления p(t) через равные промежутки времени $\Delta t$
T – полное время замера, N – номер предпоследнего замера, т.е. $T = (N + 1) \cdot \Delta t$

Рис. 1 Дискретный замер давления p(t)

Табл. 1 Дискретный замер давления p(t)


Мое недо-Решение.
Я тут было начал решение, но застопорился
$\int\limits_0^T {\left( {{C_1} - p(t)} \right){t^2}dt} = \int\limits_0^T {{C_1}{t^2}dt} - \int\limits_0^T p (t){t^2}dt = {C_1} \cdot \frac{{{T^3}}}{3} - \int\limits_0^T p (t){t^2}dt$
Далее интегрирование по частям
$\int {udv = uv - \int {vdu} }$

$\left\{ \begin{gathered} u = p(t) \hfill \\ dv = {t^2}dt \hfill \\ \end{gathered} \right. \to \left\{ \begin{gathered} du = dp \hfill \\ v = \frac{{{t^3}}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

${C_1} \cdot \frac{{{T^3}}}{3} - \int\limits_0^T p (t){t^2}dt = {C_1} \cdot \frac{{{T^3}}}{3} - \left( {p(t)\frac{{{t^3}}}{3} - \int\limits_0^T {\frac{{{t^3}}}{3}dp} } \right)$

Вот тут-то на последнем интеграле я и застопорился, потому что чушь получается
$\frac{{{t^3}}}{3}\left. p \right|_0^T$

Проблема в том, что p(t) не функция, а дискретный точный замер

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[TOTAL]

transmega в сообщении #678698 писал(а):

Мое недо-Решение.
Я тут было начал решение, но застопорился
$\int\limits_0^T {\left( {{C_1} - p(t)} \right){t^2}dt} = \int\limits_0^T {{C_1}{t^2}dt} - \int\limits_0^T p (t){t^2}dt = {C_1} \cdot \frac{{{T^3}}}{3} - \int\limits_0^T p (t){t^2}dt$
Далее интегрирование по частям

Далее интеграл $\int\limits_0^T p (t){t^2}dt$ вычисляется приближенно. Для чего отрезок интегрирования разбивается на части, на каждой из которых интеграл оценивается по формуле $\int\limits_a^b f (t)dt \approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$

[transmega]

TOTAL в сообщении #678700 писал(а):

Далее интеграл $\int\limits_0^T p (t){t^2}dt$ вычисляется приближенно. Для чего отрезок интегрирования разбивается на части, на каждой из которых интеграл оценивается по формуле $\int\limits_a^b f (t)dt \approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$

меня смущает "${{t^2}}$" в $\int\limits_0^T {p(t){t^2}dt}$
т.е. у меня не $\int\limits_a^b f (t)dt$, а

$\int\limits_a^b f (t){t^2}dt$

приведенная вами формула - формула прямоугольников, да. В идеале, как разберусь с ${{t^2}}$ , подсчитать по формуле трапеций, что несколько точнее

[nikvic]

transmega в сообщении #678710 писал(а):

подсчитать по формуле трапеций, что несколько точнее

Именно она приведена в ответе - с учётом нулевого давления в нуле отсчёта.

[Евгений Машеров]

Как раз формула трапеций и получается. Просто предполагается, что при t=0 давление нулевое, так что его можно и не половинить.

[transmega]

до меня что-то начинает доходить...

половинить или не половинить - пока не понял надо ли...
вот по последним замерам получается так?


интеграл давления идет вкупе с интегралом ДЕБИТА скважины (количество добываемой нефти в единицу времени)


только там обратная зависимость - в момент времени t0 дебит не равен нулю.

Тоже надо интеграл подсчитать, да так, чтобы ТОЧНОСТЬ была одного порядка.
а то мне в дальнейшем эти два интеграла складывать, делить на их разность.
пока лабуда получается.

Для интеграла Дебита я использую ту же формулу, что и для Давления:
$\int\limits_0^T Q (t){t^2}dt = \sum\limits_{i = 1}^N {Q({t_i}){t_i}^2} + \frac{1}{2}Q(T){T^2}$

наверное неправильно делаю

[nikvic]

transmega в сообщении #678720 писал(а):

половинить или не половинить - пока не понял надо ли...

Картинка не та - нет трапеций.
Хотя формула для площади получится такая же - для равных промежутков.

[TOTAL]

transmega в сообщении #678720 писал(а):

Тоже надо интеграл подсчитать, да так, чтобы ТОЧНОСТЬ была одного порядка.

Откуда берутся значения подынтегральной функции?
Как по отдельным замерам доопределяется функция?

[transmega]

TOTAL в сообщении #678723 писал(а):

transmega в сообщении #678720 писал(а):

Тоже надо интеграл подсчитать, да так, чтобы ТОЧНОСТЬ была одного порядка.

Откуда берутся значения подынтегральной функции?
Как по отдельным замерам доопределяется функция?

откуда берутся значения? манометром и расходомером замеряются.

На самом деле полная картина выглядит так:


т.е. начиная с какого-то времени давление и дебит стабилизируются сами. причем время стабилизации разное (отмечены галочками)

так как это время очень долгое (недели), скважина все это время стоит, не работает, что плохо для ее владельца. Поэтому надо оценивать эти интегралы без длительной остановки.

Некоторые авторы пытаются продолжать функцию давления экспоненциально. А что, без продолжения функции никак?

[transmega]

разобрался.
в следующий раз, если кто-то как я захочет численно подсчитать интеграл, отсылайте его сюда

http://www.twirpx.com/file/522798/
http://www.twirpx.com/file/864631/

так эффективней будет