Эквивалентные случайные величины

[djuuj]

Вот такие вопросы.
1. Определение: случайные величины (СВ) $\xi , \eta$, опр. на одном и том же вероятностном пространстве, наз. эквивалентными, если $P\{ \xi \ne \eta \} =0$. (Например, у Колмогорова такое определение.)
Вопрос: почему такое определение корректно? Понятно, что СВ -- измеримая относительно вероятностной меры функция элементарного события, т.е. прообраз любого борелевского множества является событием. Но кажется множество $\{ (\xi , \eta ) \in \mathbb{R}^2 | \xi \ne \eta \} $ не является борелевским, соответственно его прообраз может не быть измеримым (не являться событием). Измеримость прообраза предполагается определением?
2. Могут ли две СВ, которые не эквивалентны, иметь одиннаковые функции распределения?

[Xaositect]

djuuj в сообщении #678135 писал(а):

Но кажется множество $\{ (\xi , \eta ) \in \mathbb{R}^2 | \xi \ne \eta \} $ не является борелевским

Почему Вам так кажется?

[djuuj]

Xaositect в сообщении #678136 писал(а):

djuuj в сообщении #678135 писал(а):

Но кажется множество $\{ (\xi , \eta ) \in \mathbb{R}^2 | \xi \ne \eta \} $ не является борелевским

Почему Вам так кажется?

Просто не представляю как можно представить плоскость $\mathbb{R}^2$, из которой вырезана прямая $\xi = \eta$, с помощью счетного числа операций объединения, пересечения и взятия дополнений прямоугольников вида $\left[a_1,b_1\right) \times \left[a_2,b_2\right)$. Хотя конечно и доказать не могу, поэтому только кажется.

[Xaositect]

Интересующее нас множество - дополнение прямой $x = y$. Прямая - это пересечение множеств $D_k$, составленных из квадратов: $D_k = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} [\frac{1}{2^k}n,\frac{1}{2^k}(n+1))\times [\frac{1}{2^k}n,\frac{1}{2^k}(n+1))$.

Плоскость без прямой это открытое множество, а значит, борелевское. Для того, чтобы придумать неборелевское множество, надо очень сильно постараться.

[djuuj]

Ясно, спасибо. А насчет 2 есть какие-то соображения?

[--mS--]

Монетку два раза никогда не подбрасывали?

[djuuj]

--mS-- в сообщении #678147 писал(а):

Монетку два раза никогда не подбрасывали?

Подбрасывал. К чему это?

[djuuj]

Понял к чему: да, могут. Спасибо.