Является ли идеал кольцом?

[apriv]

nnosipov в сообщении #677940 писал(а):

А что это Вы открыли? Приведите название, автора, да и полную цитату. Или ссылку на эту книгу укажите.

Говорю же — ‘Algebra. Chapter 0’, автор Paolo Aluffi. Как видно из названия — учебник для начинающих.

-- 30.01.2013, 20:28 --

Chernoknizhnik в сообщении #677957 писал(а):

apriv в сообщении #677909 писал(а):

Можно подумать, не бывает идеалов, содержащих единицу.

Увы, не бывает, если речь идет о собственном подкольце.

Думаю, в предложении «[...] идеалов, содержащих единицу» речь идет об идеалах, а не о подкольцах. И про «собственные» пока что не было ни слова. Единичный идеал — очень важный идеал, без него никуда.

[Chernoknizhnik]

Chernoknizhnik в сообщении #677896 писал(а):

Если взять кольцо с единицей и его собственное подкольцо, то оно будет содержать единицу, т.е. идеалом точно не будет.

Простейший логический трюк. Взяли собственное подкольцо, содержащее единицу. Идеалом оно не является, потому что оно содержит единицу и отлично от всего кольца.

[nnosipov]

apriv в сообщении #677961 писал(а):

Говорю же — ‘Algebra. Chapter 0’, автор Paolo Aluffi. Как видно из названия — учебник для начинающих.

Забавная ссылка. Вы мне его купить предлагаете, что ли? Приведите полностью определение кольца из этого учебника. Кстати, а чем Вас учебник Винберга (например) не устраивает?

-- Ср янв 30, 2013 23:36:58 --

Chernoknizhnik в сообщении #677964 писал(а):

Взяли собственное подкольцо, содержащее единицу.

Почему бы Вам так не написать с самого начала? "Будет" и "Взяли" --- разные вещи.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

А еще говорят, в математике holy war'ов не бывает...

[Chernoknizhnik]

Joker_vD в сообщении #677969 писал(а):

(Оффтоп)

А еще говорят, в математике holy war'ов не бывает...

+1:))

[apriv]

nnosipov в сообщении #677966 писал(а):

Забавная ссылка. Вы мне его купить предлагаете, что ли? Приведите полностью определение кольца из этого учебника.

Привожу полностью. Страница 119.

Цитата:

A ring $(R,+,\cdot)$ is an abelian group $(R,+)$ endowed with a second binary operation $\cdot$, satisfying on its own the requirements of being associative and having a two-sided identity, i.e.,
\begin{gather*} (\forall r,s,t\in R):\quad (r\cdot s)\cdot t=r\cdot(s\cdot t),\\ (\exists 1_R\in R)(\forall r\in R):\quad r\cdot 1_R=r=1_R\cdot r\\ \end{gather*}
(which make $(R,\cdot)$ a monoid), and further interacting with $+$ via the following distributive properties:

$$ (\forall r,s,t\in R):\quad (r+s)\cdot t=r\cdot s+r\cdot t\text{ and }t\cdot (r+s)=t\cdot r + t\cdot s. $$

Могу еще взять «Алгебру» Ленга, сам по этой книге учился на первом курсе. Третье издание, Chapter II, самое начало:

Цитата:

A ring $A$ is a set, together with two laws of composition called multiplication and addition respectively, and written as a product and as a sum respectively, satisfying the following conditions:
RI 1. With respect to addition, $A$ is a commutative group.
RI 2. The multiplication is associative, and has a unit element.
RI 3. For all $x,y,z\in A$ we have

$$ (x+y)z=xz+yz\text{\quad and\quad} z(x+y)=zx+zy $$

(This is called distributivity.)

[nnosipov]

(Оффтоп)

Да какой там холивар. Так, вечерок скоротать ...

Да, посмотрел Ленга, действительно Что тут скажешь ... Разве что это, конечно, не учебник для первокурсников.

[Mathusic]

apriv
А что тогда за структура -- кольцо без единицы, как величать?

[Sonic86]

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #677977 писал(а):

А что тогда за структура -- кольцо без единицы, как величать?

так как любое кольцо содержит единицу, то кольца без единиц не существуют
Вариант: фиговое кольцо

Ну просто авторы строят естественные структуры. Ну есть кольцо $K$ без единицы, добавим туда единицу, получим более удобную для описания структуру. Автор просто не хочет этими частностями грузить мозг читателю, оставляя место для загружания его чем-нибудь пострашнее

(Оффтоп)

вот хотел я Ленга прочитать. Как увидел доказательство существования свободной группы, так до сих пор дальше читать боюсь. Лучше бы он мне про разницу между кольцами с единицей и кольцами без единицы рассказал Казалось бы: ну взять полугруппу и профакторизовать, но нет блин...

[timots]

Я дилетант в теории идеалов и в теории колец. То, что я понял это что идеал является делителем многочлена а определения кольца связано с корнем $n$ степени из единицы. Хотелось бы знать, где и почему идеал не может иметь множитель единицу.

[apriv]

Mathusic в сообщении #677977 писал(а):

apriv
А что тогда за структура -- кольцо без единицы, как величать?

Так и называется — кольцо без единицы, чего уж. Если очень нужно, автор в начале книги предупредит, что в его кольцах единицы может и не быть. Но лично я такого почти не встречал. Кроме того, есть прекрасный функтор, сопряженный к забывающему функтору из категории колец с единицей в категорию колец без единицы, поэтому многие вопросы сводятся к кольцам с единицей.

[nnosipov]

Вообще, довольно комично вышло. Уж от кого-кого, а от Ленга я такого фокуса не ожидал. У него все кольца и ассоциативные к тому же. Может, и у ван дер Вардена так же? Нет, у него все кольца ассоциативные, но единица не требуется. Забавно, однако --- у каждого алгебраиста своё собственное определение кольца

[apriv]

nnosipov в сообщении #677974 писал(а):

Да, посмотрел Ленга, действительно Что тут скажешь ... Разве что это, конечно, не учебник для первокурсников.

Отчего ж? Первокурсники, конечно, бывают разные, но у нас он весьма популярен. И когда я учился, и сейчас.

-- 30.01.2013, 22:00 --

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #677982 писал(а):

вот хотел я Ленга прочитать. Как увидел доказательство существования свободной группы, так до сих пор дальше читать боюсь. Лучше бы он мне про разницу между кольцами с единицей и кольцами без единицы рассказал Казалось бы: ну взять полугруппу и профакторизовать, но нет блин...

У Ленга вроде бы совершенно стандартное рассуждение (в духе теоремы Фрейда о сопряженном функторе), которое применяется во многих ситуациях для конструкции сопряженных функторов.

[nnosipov]

apriv в сообщении #678009 писал(а):

но у нас он весьма популярен

Это где, если не секрет?

[apriv]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #678113 писал(а):

Это где, если не секрет?

СПбГУ