2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 15:20 
Является ли идеал $I$ кольцом? Я так понял, что да. Верно ли тогда, что все подмножества кольца $K$, являющиеся подкольцом, являются идеалами? (Это уже обратное).

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 16:58 
Собственный идеал - кольцо, но без единицы. Если взять кольцо с единицей и его собственное подкольцо, то оно будет содержать единицу, т.е. идеалом точно не будет.

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 17:25 
Chernoknizhnik в сообщении #677896 писал(а):
Если взять кольцо с единицей и его собственное подкольцо, то оно будет содержать единицу
Подкольцо не обязано содержать единицу.

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 17:36 
nnosipov в сообщении #677905 писал(а):
Подкольцо не обязано содержать единицу.

Это зависит от определения, правда ведь? В коммутативной алгебре, например, удобно считать, что все кольца содержат единицу, и что подкольцо автоматически тоже содержит единицу.

-- 30.01.2013, 18:37 --

Chernoknizhnik в сообщении #677896 писал(а):
будет содержать единицу, т.е. идеалом точно не будет.

Можно подумать, не бывает идеалов, содержащих единицу.

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 17:43 
Четыре случая возможны для подколец:

1) Кольцо $R$ — кольцо с единицей, подкольцо $R'$ — кольцо с единицей:
1а) единицы $R$ и $R'$ — один и тот же элемент;
1б) единицы $R$ и $R'$ — это два разных элемента;
2) Кольцо $R$ — кольцо без единицы, подкольцо $R'$ — кольцо с единицей;
3) Кольцо $R$ — кольцо с единицей, подкольцо $R'$ — кольцо без единицы.

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 17:44 
apriv в сообщении #677909 писал(а):
Это зависит от определения, правда ведь? В коммутативной алгебре, например, удобно считать, что все кольца содержат единицу, и что подкольцо автоматически тоже содержит единицу.
Я и имею в виду стандартное определение подкольца. А то, что где-то удобно так считать --- это совсем другое дело.

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 17:49 
идеал обычно и определяется как подкольцо с таким-то свойством (см. вики тот же), а любой подкольцо является кольцом по определению.

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 17:51 
Nikolai Moskvitin в сообщении #677863 писал(а):
Является ли идеал $I$ кольцом? Я так понял, что да.
Угу, по определению причем.

Nikolai Moskvitin в сообщении #677863 писал(а):
Верно ли тогда, что все подмножества кольца $K$, являющиеся подкольцом, являются идеалами? (Это уже обратное).
Не всякое подкольцо кольца - это идеал. Подкольцо по определению инвариантно при умножении только на элементы подкольца. Для идеала соответствующее утверждение сильнее: идеал инвариантен не только при умножении его на свои элементы, но и при умножении его на любой элемент кольца (даже лежащий вне идеала).

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 17:56 
Sonic86 в сообщении #677916 писал(а):
Не всякое подкольцо кольца - это идеал.
Для ТС полезнее будет привести конкретные примеры. А ещё полезнее, если он сам эти примеры сочинит. И чем больше и разнообразнее, тем лучше.

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 18:20 
nnosipov в сообщении #677911 писал(а):
Я и имею в виду стандартное определение подкольца. А то, что где-то удобно так считать --- это совсем другое дело.

Стандартное определение подструктуры (подгруппы, подкольца, подполя, подпространства) — это подмножество, замкнутое относительно всех операций на этой структуре. В частности, если под термином «кольцо» мы подразумеваем то, что содержит единицу, то и подкольцо обязано быть замкнуто относительно этой 0-арной операции, то есть, содержать эту единицу

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 18:31 
apriv в сообщении #677925 писал(а):
В частности, если под термином «кольцо» мы подразумеваем то, что содержит единицу
А мы разве это подразумеваем? Тем более по умолчанию? Это легко проверить --- берём первый попавшийся учебник по алгебре для первокурсников (а ТС, кажется, ещё и школьник, который только начал знакомиться с этими абстрактными понятиями) и смотрим определение кольца.

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 18:36 
nnosipov в сообщении #677928 писал(а):
А мы разве это подразумеваем? Тем более по умолчанию? Это легко проверить --- берём первый попавшийся учебник по алгебре для первокурсников (а ТС, кажется, ещё и школьник, который только начал знакомиться с этими абстрактными понятиями) и смотрим определение кольца.

Ну, я открыл ‘Algebra. Chapter 0’, и увидел:
Цитата:
Definition 1.1. A ring $(R,+,\cdot)$ is an abelian group $(R,+)$ endowed with a second binary operation $\cdot$, satisfying on its own the requirements of being associative and having a two-sided identity, i.e., [...]

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 18:50 
apriv в сообщении #677931 писал(а):
Ну, я открыл ‘Algebra. Chapter 0’
А что это Вы открыли? Приведите название, автора, да и полную цитату. Или ссылку на эту книгу укажите.

А потом мы почитаем с Вами "Курс алгебры" Винберга. Или сами посмотрите?

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 19:05 

(Оффтоп)

Давайте уж сразу, я не знаю... "Кольца и модули" Ламбека?

 
 
 
 Re: Является ли идеал кольцом?
Сообщение30.01.2013, 19:18 
apriv в сообщении #677909 писал(а):
-- 30.01.2013, 18:37 --

Chernoknizhnik в сообщении #677896 писал(а):
будет содержать единицу, т.е. идеалом точно не будет.

Можно подумать, не бывает идеалов, содержащих единицу.

Увы, не бывает, если речь идет о собственном подкольце.

 
 
 [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group