Является ли идеал кольцом?

[Nikolai Moskvitin]

Является ли идеал $I$ кольцом? Я так понял, что да. Верно ли тогда, что все подмножества кольца $K$, являющиеся подкольцом, являются идеалами? (Это уже обратное).

[Chernoknizhnik]

Собственный идеал - кольцо, но без единицы. Если взять кольцо с единицей и его собственное подкольцо, то оно будет содержать единицу, т.е. идеалом точно не будет.

[nnosipov]

Chernoknizhnik в сообщении #677896 писал(а):

Если взять кольцо с единицей и его собственное подкольцо, то оно будет содержать единицу

Подкольцо не обязано содержать единицу.

[apriv]

nnosipov в сообщении #677905 писал(а):

Подкольцо не обязано содержать единицу.

Это зависит от определения, правда ведь? В коммутативной алгебре, например, удобно считать, что все кольца содержат единицу, и что подкольцо автоматически тоже содержит единицу.

-- 30.01.2013, 18:37 --

Chernoknizhnik в сообщении #677896 писал(а):

будет содержать единицу, т.е. идеалом точно не будет.

Можно подумать, не бывает идеалов, содержащих единицу.

[Joker_vD]

Четыре случая возможны для подколец:

1) Кольцо $R$ — кольцо с единицей, подкольцо $R'$ — кольцо с единицей:
1а) единицы $R$ и $R'$ — один и тот же элемент;
1б) единицы $R$ и $R'$ — это два разных элемента;
2) Кольцо $R$ — кольцо без единицы, подкольцо $R'$ — кольцо с единицей;
3) Кольцо $R$ — кольцо с единицей, подкольцо $R'$ — кольцо без единицы.

[nnosipov]

apriv в сообщении #677909 писал(а):

Это зависит от определения, правда ведь? В коммутативной алгебре, например, удобно считать, что все кольца содержат единицу, и что подкольцо автоматически тоже содержит единицу.

Я и имею в виду стандартное определение подкольца. А то, что где-то удобно так считать --- это совсем другое дело.

[spyphy]

идеал обычно и определяется как подкольцо с таким-то свойством (см. вики тот же), а любой подкольцо является кольцом по определению.

[Sonic86]

Nikolai Moskvitin в сообщении #677863 писал(а):

Является ли идеал $I$ кольцом? Я так понял, что да.

Угу, по определению причем.

Nikolai Moskvitin в сообщении #677863 писал(а):

Верно ли тогда, что все подмножества кольца $K$, являющиеся подкольцом, являются идеалами? (Это уже обратное).

Не всякое подкольцо кольца - это идеал. Подкольцо по определению инвариантно при умножении только на элементы подкольца. Для идеала соответствующее утверждение сильнее: идеал инвариантен не только при умножении его на свои элементы, но и при умножении его на любой элемент кольца (даже лежащий вне идеала).

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #677916 писал(а):

Не всякое подкольцо кольца - это идеал.

Для ТС полезнее будет привести конкретные примеры. А ещё полезнее, если он сам эти примеры сочинит. И чем больше и разнообразнее, тем лучше.

[apriv]

nnosipov в сообщении #677911 писал(а):

Я и имею в виду стандартное определение подкольца. А то, что где-то удобно так считать --- это совсем другое дело.

Стандартное определение подструктуры (подгруппы, подкольца, подполя, подпространства) — это подмножество, замкнутое относительно всех операций на этой структуре. В частности, если под термином «кольцо» мы подразумеваем то, что содержит единицу, то и подкольцо обязано быть замкнуто относительно этой 0-арной операции, то есть, содержать эту единицу

[nnosipov]

apriv в сообщении #677925 писал(а):

В частности, если под термином «кольцо» мы подразумеваем то, что содержит единицу

А мы разве это подразумеваем? Тем более по умолчанию? Это легко проверить --- берём первый попавшийся учебник по алгебре для первокурсников (а ТС, кажется, ещё и школьник, который только начал знакомиться с этими абстрактными понятиями) и смотрим определение кольца.

[apriv]

nnosipov в сообщении #677928 писал(а):

А мы разве это подразумеваем? Тем более по умолчанию? Это легко проверить --- берём первый попавшийся учебник по алгебре для первокурсников (а ТС, кажется, ещё и школьник, который только начал знакомиться с этими абстрактными понятиями) и смотрим определение кольца.

Ну, я открыл ‘Algebra. Chapter 0’, и увидел:

Цитата:

Definition 1.1. A ring $(R,+,\cdot)$ is an abelian group $(R,+)$ endowed with a second binary operation $\cdot$, satisfying on its own the requirements of being associative and having a two-sided identity, i.e., [...]

[nnosipov]

apriv в сообщении #677931 писал(а):

Ну, я открыл ‘Algebra. Chapter 0’

А что это Вы открыли? Приведите название, автора, да и полную цитату. Или ссылку на эту книгу укажите.

А потом мы почитаем с Вами "Курс алгебры" Винберга. Или сами посмотрите?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Давайте уж сразу, я не знаю... "Кольца и модули" Ламбека?

[Chernoknizhnik]

apriv в сообщении #677909 писал(а):

-- 30.01.2013, 18:37 --

Chernoknizhnik в сообщении #677896 писал(а):

будет содержать единицу, т.е. идеалом точно не будет.

Можно подумать, не бывает идеалов, содержащих единицу.

Увы, не бывает, если речь идет о собственном подкольце.