Параметр уравнения параболы (даны две точки и длина дуги)

[sadiv]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, в решении задачи:
Для параболы $y = a\cdot x^2$ даны координаты двух точек, лежащих на кривой и длина ее дуги между этими точками.
Требуется найти параметр $a$.

Искал решение на многих форумах - безрезультатно, поэтому догадываюсь, что решение не тривиальное.

[Shadow]

Если Вам скажут, что парабола проходит через точку (1,2), как "а" искать будете?

[gris]

В этой задаче заданы, конечно, не полные координаты точек, а только их абсциссы. Задача имеет единственное (с точностью до знака) решение. Напишите определённый интеграл, выражающий длину дуги, а там уж можно и посмотреть, что получится.

[sadiv]

Если взять (упрощенно, но мне это подходит), что абсцисса первой точки $x_0 = 0$ тогда через абсциссу второй точки длина дуги равна:
$L = \frac {1}{2} \cdot x_1 \cdot \sqrt{1+4 \cdot a^2 \cdot x_1^2} + \frac {1}{4 \cdot a} \cdot \ln{\left(2 \cdot a \cdot x_1 + \sqrt{1+4 \cdot a^2 \cdot x_1^2} \right)} $
Возможно ли из этого выразить коэффициент a ???

-- 30.01.2013, 15:02 --

Всем спасибо, вопрос закрыт. Помогли на соседнем форуме:

$a = \sqrt{\frac{L^2 - (x_1-x_2)^2}{(x_1^2-x_2^2)^2}}$

Это приближенная формула, которой для решения моей конкретной задачи вполне достаточно. Точного решения нет.

[gris]

А куда же деваться? Если обозначим $b=2ax_1$, то надо решить уравнение

$2L/x_1 = \sqrt{1+b^2} + \frac {1}{b} \cdot \ln{\left(b + \sqrt{1+b^2} \right)} $

Правая часть возрастает при положительных $b$ и, вроде бы, имеет хорошую асимптотику.