Не понял. Т.е. определение аффинного пространства в алгебраической геометрии отличается от аксиоматического определения? Или это делается для того, что мы всегда понятно каким образом можем определить множество прямых и плоскостей?
В алгебраической геометрии никого не интересует акиоматическое определение, поскольку там аффинное многообразие — это коммутативное кольцо или представимый им функтор (а многообразие вообще — локальный функтор, покрываемый аффинными). В частности, аффинное пространство — это кольцо
![$\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/9/5c9ba5dd27bfb289bd030e6da6c5c5bf82.png)
или представимый им функтор

.