Однородные координаты

[xmaister]

Пусть у нас есть проективное пространство $\mathbb{F}P^n$. Что такое однородные координаты на $\mathbb{F}P^n$ формально?

[Joker_vD]

Если $\varphi\colon\mathbb FA^{n+1}\mathbin{\diagdown}\{(0,\dots,0)\}\to \mathbb FP^n$ — понятно что, то однородные координаты — это какое-то правое обратное к $\varphi$.

[xmaister]

А зачем Вы рассматриваете аффинное пространство $\mathbb{F}A^{n+1}$? Не много ли лишней информации о прямых и отношении инцидентности? Почему например не рассмотреть просто векторное $\mathbb{F}^{n+1}$?

[apriv]

xmaister в сообщении #677829 писал(а):

А зачем Вы рассматриваете аффинное пространство $\mathbb{F}A^{n+1}$? Не много ли лишней информации о прямых и отношении инцидентности? Почему например не рассмотреть просто векторное $\mathbb{F}^{n+1}$?

В алгебраической геометрии это самое $\mathbb{F}^{n+1}$ и называют «аффинным пространством». Точнее, функтор, сопоставляющий кольцу $k$ множество $k^{n+1}$.

[xmaister]

Не понял. Т.е. определение аффинного пространства в алгебраической геометрии отличается от аксиоматического определения? Или это делается для того, что мы всегда понятно каким образом можем определить множество прямых и плоскостей?

[apriv]

xmaister в сообщении #677834 писал(а):

Не понял. Т.е. определение аффинного пространства в алгебраической геометрии отличается от аксиоматического определения? Или это делается для того, что мы всегда понятно каким образом можем определить множество прямых и плоскостей?

В алгебраической геометрии никого не интересует акиоматическое определение, поскольку там аффинное многообразие — это коммутативное кольцо или представимый им функтор (а многообразие вообще — локальный функтор, покрываемый аффинными). В частности, аффинное пространство — это кольцо $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ или представимый им функтор $R\mapsto R^{n}$.