Найти наименьшее значение

[daogiauvang]

Найти наименьшее значение выражения $P=\frac{a}{b^3+54}+\frac{b}{c^3+54}+\frac{c}{a^3+54} $
Известно, что $a,b,c $ неотрицательные числа и их сумма равная 1.

[Yu_K]

Попробуйте показать, что внутри области только одна критическая точка $A$. Остальные минимальные и максимальные значения лежат на границе, и в силу симметрии можно смотреть поведение только на отрезке $(x,1-x,0)$ при $0\leqslant {x} \leqslant1$ - там будет критическая точка $B$. И потом останется сравнить значения в точках $A$ и $B$. И похоже, что минимум будет в трех точках на границе треугольника области допустимых значений типа $B$.

[Yu_K]

Там оказалось три седла внутри треугольника и один минимум локальный в центре и три минимума на границе - посмотрел линии уровня функции в области допустимых значений.

[Yu_K]

Вид сверху - линии уровня - видно что максимумы и минимумы на границе допустимой области - ось Z здесь смотрит перпендикулярно экрану. Аналитическое выражение для минимума находится - но без матпакета сложно все это переварить.
.

[daogiauvang]

думаю что минимум будет в точке (0,1/3,2/3)

[DLL]

Цитата:

Аналитическое выражение для минимума находится - но без матпакета сложно все это переварить.

Если записать необходимое условие экстремума, то можно свести задачу к системе полиномиальных уравнений. Правда, базис Гребнера (найденный с помощью системы компьютерной алгебры) никак не упрощает задачу.

Интересно, как это задача решается аналитически?

[Yu_K]

Цитата:

думаю что минимум будет в точке (0,1/3,2/3)

- нет Вы не правы - там их три и значение другое - см. ссылки
http://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+x%2F%28y%5E3%2B54%29%2By%2F%28z%5E3%2B54%29%2Bz%2F%28x%5E3%2B54%29+for+x%2By%2Bz%3D1%2Cx%3E0%2Cy%3E0%2Cz%3E0
или
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%2F%28%281-x%29%5E3%2B54%29%2B%281-x%29%2F%280%5E3%2B54%29+for+x%3E0%2Cx%3C1

Цитата:

Интересно, как это задача решается аналитически?

- Маткад находит решение - но очень громоздкое.

[Aritaborian]

Yu_K в сообщении #672682 писал(а):

Маткад находит решение - но очень громоздкое.

Какое именно? Скормил это Математике, так уже 10 минут размышляет.
Или напутал в коде?

Minimize[{a/(b^3 + 54) + b/(c^3 + 54) + c/(a^3 + 54), a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 && a + b + c == 1}, {a, b, c}]

(Численными методами выдаёт, понятное дело, то же самое, что и Альфа).

[Yu_K]

Цитата:

Какое именно? Скормил это Математике, так уже 10 минут размышляет.

Вы ищите аналитически минимум для функции одной переменной $\frac{x}{(1-x)^3+54}+\frac{1-x}{54}$ - не думаю, что Математики решатель слабее, чем у Маткада.

[DLL]

Yu_K в сообщении #672755 писал(а):

Цитата:

Какое именно? Скормил это Математике, так уже 10 минут размышляет.

Вы ищите аналитически минимум для функции одной переменной $\frac{x}{(1-x)^3+54}+\frac{1-x}{54}$ - не думаю, что Математики решатель слабее, чем у Маткада.

Это речь идет про исследование границы. А внутренность области?

[Yu_K]

Внутри максимум локальный и три седла.

[Aritaborian]

DLL, глобальный минимум указанной вами функции достигается при $x=0.251454$ и равен $0.0184826$ (значения приближённые). Точные значения — корни уравнений четвёртой степени, в радикалах представляющие собой многоэтажный ужас.

[DLL]

Меня интересует вот что. По большому счету, факт что внутри треугольника максимум и седла установлен графически. Как бы это обосновать аналитически?

Если записать необходимое условие экстремума и затем избавиться от знаменателей, то получается система из двух полиномиальных уравнений с двумя неизвестными (например, $a$ и $b$). Далее, можно найти (например, в матпакете) его базис Гребнера, при чем чудовищного вида! В добавок к этому, оказывается, что в базисе Гребнера отсутствуют полиномы зависящие только от одной переменной, то есть первый исключающий идеал пуст. И что с этим делать, непонятно

[nnosipov]

DLL в сообщении #677758 писал(а):

Далее, можно найти (например, в матпакете) его базис Гребнера, при чем чудовищного вида!

Так уж и чудовищного. Да и зачем, собственно, Грёбнер для системы с двумя переменными? Вычислите результант и затем найдите его корни. Хоть со 100 знаками, это довольно быстро.

DLL в сообщении #677758 писал(а):

В добавок к этому, оказывается, что в базисе Гребнера отсутствуют полиномы зависящие только от одной переменной, то есть первый исключающий идеал пуст.

Там, наверное, по умолчанию total degree, а нужно lex order.

[TR63]

Наименьшее значение P можно найти с помощью неравенства Коши. Задача сводится к решению уравнения четвёртой степени.