Расширение поля

[deniskaka]

Помогите, пожалуйста, решить задачу:
$K$ - поле, $F$ - его алгебраически замкнутое расширение. $[F:K] = n$.
Какую максимальную степень может иметь неприводимый многочлен над $K$?

По аналогии с $R$ и $C$ максимальная степень должна быть равна $n$(размерность $C$ над $R$). Но это надо как-то обосновать.

[Joker_vD]

Ну и обосновывайте: если бы был неприводимый многочлен $f(x)$ степени $n+1$, то $K[x]/(f(x))$...

[deniskaka]

А не могли бы Вы, пожалуйста, подробнее описать дальнейшие действия. Спасибо.

[Joker_vD]

А куда дальше-то? $K[x]/(f(x))$ — это что?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677549 писал(а):

А куда дальше-то? $K[x]/(f(x))$ — это что?

Это фактор-кольцо по идеалу, порождённому неприводимым многочленом.
И оно, кажется, является полем.

[Joker_vD]

deniskaka в сообщении #677553 писал(а):

И оно, кажется, является полем.

Да, является. Является ли оно расширением $K$?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677557 писал(а):

deniskaka в сообщении #677553 писал(а):

И оно, кажется, является полем.

Да, является. Является ли оно расширением $K$?

Да

[Joker_vD]

Алгебраическое ли это расширение? Чему равен его индекс над $K$?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677559 писал(а):

Алгебраическое ли это расширение? Чему равен его индекс над $K$?

Да, оно алгебраическое, индекс будет равен $n$

[Joker_vD]

Почему $n$?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677562 писал(а):

Почему $n$?

Я не знаю:( Не могли бы Вы объяснить, пожалуйста

[Joker_vD]

Ну давайте для начала рассмотрим $\mathbb R[x]/(x^2+1)$, что ли. Из чего оно состоит и какие там операции?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677567 писал(а):

Ну давайте для начала рассмотрим $\mathbb R[x]/(x^2+1)$, что ли. Из чего оно состоит и какие там операции?

Все элементы представимы в виде $a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+{x^2}+1$.
Все смежные классы $1+f, x+f, ..., x^{n-1}+f$ составляют базис этого поля над $K$. Ну и получаем, что размерность будет $n$.

[Joker_vD]

Вот в данном конкретном случае $\mathbb R[x]/(x^2+1)$, что такое $n$?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677646 писал(а):

Вот в данном конкретном случае $\mathbb R[x]/(x^2+1)$, что такое $n$?

Это размерность $[\mathbb R[x]/(x^2+1):\mathbb R]$, равная, видимо, двум.