2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 00:06 
Помогите, пожалуйста, решить задачу:
$K$ - поле, $F$ - его алгебраически замкнутое расширение. $[F:K] = n$.
Какую максимальную степень может иметь неприводимый многочлен над $K$?

По аналогии с $R$ и $C$ максимальная степень должна быть равна $n$(размерность $C$ над $R$). Но это надо как-то обосновать.

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 00:12 
Ну и обосновывайте: если бы был неприводимый многочлен $f(x)$ степени $n+1$, то $K[x]/(f(x))$...

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 13:07 
А не могли бы Вы, пожалуйста, подробнее описать дальнейшие действия. Спасибо.

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 14:33 
А куда дальше-то? $K[x]/(f(x))$ — это что?

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 14:38 
Joker_vD в сообщении #677549 писал(а):
А куда дальше-то? $K[x]/(f(x))$ — это что?


Это фактор-кольцо по идеалу, порождённому неприводимым многочленом.
И оно, кажется, является полем.

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 14:40 
deniskaka в сообщении #677553 писал(а):
И оно, кажется, является полем.

Да, является. Является ли оно расширением $K$?

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 14:47 
Joker_vD в сообщении #677557 писал(а):
deniskaka в сообщении #677553 писал(а):
И оно, кажется, является полем.

Да, является. Является ли оно расширением $K$?

Да

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 14:49 
Алгебраическое ли это расширение? Чему равен его индекс над $K$?

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 14:57 
Joker_vD в сообщении #677559 писал(а):
Алгебраическое ли это расширение? Чему равен его индекс над $K$?

Да, оно алгебраическое, индекс будет равен $n$

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 15:04 
Почему $n$?

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 15:11 
Joker_vD в сообщении #677562 писал(а):
Почему $n$?

Я не знаю:( Не могли бы Вы объяснить, пожалуйста

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 15:14 
Ну давайте для начала рассмотрим $\mathbb R[x]/(x^2+1)$, что ли. Из чего оно состоит и какие там операции?

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 17:50 
Joker_vD в сообщении #677567 писал(а):
Ну давайте для начала рассмотрим $\mathbb R[x]/(x^2+1)$, что ли. Из чего оно состоит и какие там операции?

Все элементы представимы в виде $a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+{x^2}+1$.
Все смежные классы $1+f, x+f, ..., x^{n-1}+f$ составляют базис этого поля над $K$. Ну и получаем, что размерность будет $n$.

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 18:00 
Вот в данном конкретном случае $\mathbb R[x]/(x^2+1)$, что такое $n$?

 
 
 
 Re: Расширение поля
Сообщение29.01.2013, 18:20 
Joker_vD в сообщении #677646 писал(а):
Вот в данном конкретном случае $\mathbb R[x]/(x^2+1)$, что такое $n$?

Это размерность $[\mathbb R[x]/(x^2+1):\mathbb R]$, равная, видимо, двум.

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group