Опт. способ нахождения значений в integer equation

[Keter]

Предположим есть такое уравнение $(2n+1)^2-4k^2=5, \quad n, k \in \mathbb{Z}.$

Как можно быстро сказать, что $\pm 1$ - это единственные значения, которые может принимать $k$ ?

-- 28.01.2013, 04:48 --

Просто мне нужно знать только о значениях $k$.

Нормально ли будет в данном случае сказать, что данное уравнение имеет вид $x^2-y^2=t,$ где $t=2l+1,$ а такое уравнение имеет решения $x=\pm (l+1), y=\pm l$ ?

То есть не будет ли это являться бросающимся в глаза необоснованным фактом в сравнении с не рациональным решением четырёх систем уравнений, составленных из разложенной разницы квадратов?

Повторюсь, что мне важно узнать самым коротким способом именно значения $k$, решать уравнение в целых числах не обязательно.

[Cash]

$4k^2+5$ - квадрат, следовательно $5 \geqslant 4|k|+1$

[nnosipov]

Keter в сообщении #677120 писал(а):

Нормально ли будет в данном случае сказать, что данное уравнение имеет вид $x^2-y^2=t,$ где $t=2l+1,$ а такое уравнение имеет решения $x=\pm (l+1), y=\pm l$ ?

Такое уравнение может иметь не только такие решения. Но если $t$ --- простое число, то, очевидно, только такие.

[Keter]

nnosipov, хмм... наверное нужно сказать, что число $t$ при делении на $4$ не даёт в остатке $2$.

-- 28.01.2013, 08:09 --

Cash, можете подробнее объяснить, что из чего следует? Пока что не могу понять.

(Оффтоп)

Уже утро

[Cash]

$4k^2+5 = t^2$
$t>2|k|$
$t \geqslant 2|k|+1$
$4k^2+5 \geqslant 4k^2+4|k|+1$

[nnosipov]

Keter в сообщении #677129 писал(а):

nnosipov, хмм... наверное нужно сказать, что число $t$ при делении на $4$ не даёт в остатке $2$.

Вы это уже сказали, написав $t=2l+1$.

[Keter]

Cash, понял.
Спасибо