Помогите разобраться с доказательством

[Math_noob]

Приветствую, многоуважаемые математики. У меня вопрос: является ли это доказательством свойства бесконечно малой последовательности ?

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n =\lim\limits_{n\to\infty}b_n = 0$
Доказать что разность двух бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность. Из определения предела имеем:

$ \forall\varepsilon>0 \exists n_0: \forall n>n_0\qquad |a_n|<\varepsilon $

Пусть $\varepsilon = 2\varepsilon$ , тогда $|a_n |< 2\varepsilon$
Аналогично для b можем получить $| b_n | < \varepsilon$

Тогда при вычитании из первого неравенства второе получим : $|a_n |- | b_n |< \varepsilon$. Что и требовалось доказать.

Как вы могли понять я совсем новичок в математике, и не смог найти нигде чтобы доказывалось аналогично. Является ли мое доказательство "доказательным"? Заранее спасибо за все ответы.

[Aritaborian]

Math_noob в сообщении #677045 писал(а):

Пусть $\varepsilon=2\varepsilon$

Так ведь тогда $\varepsilon=0$. Что-то вы напутали.

[Joker_vD]

Давайте начнем вот с чего: пусть у вас есть последовательность $(c_n)$, $c_n=a_n-b_n$. Что означает запись $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=0$?

[Cash]

Aritaborian в сообщении #677058 писал(а):

Math_noob в сообщении #677045 писал(а):

Пусть $\varepsilon=2\varepsilon$

Так ведь тогда $\varepsilon=0$. Что-то вы напутали.

По большому счету, это придирки. Понятно, что хотел сказать ТС. Имеется более серьезная дыра:
Из $|a_n |< 2\varepsilon$ и $| b_n | < \varepsilon$ не следует $|a_n |- | b_n |< \varepsilon$
Так неравенства нельзя вычитать. Например, $2<3$ и $1<3$

[Math_noob]

Спасибо, понял свою ошибку.

[AGu]

Math_noob, Вы все же обратите внимание на сообщение Joker_vD. Он там на еще более важную дырку намекает.

[Deggial]

Math_noob, пределы оформляются так:

$\lim\limits_{x\to A}f(x)$

. Вашу формулу я поправил.