Численные методы. Многочлен Лагранжа. Правильно ли я решил?

[SLiTHER777]

Готовлюсь к экзамену по вычислительной математике. Почти во всех билетах есть разнообразные задачи на применение многочлена Лагранжа, т.е. уметь их решать просто необходимо. Как решать большинство из задач я сумел найти, а вот как решать задачи следующего типа в лекциях найти не удалось. Не совсем уверен, что все правильно решаю я в этой задаче. Подскажите, правильно ли я сделал!

Полного условия задачи написать не могу, т.к. его просто нет. В конспекте лекций есть только следующее: дается четыре точки x: 0; 1; 2; 3. Есть некоторая формула: y=x^2. Требуется по этим данным построить следующий многочлен Лагранжа L_3(x). И дается еще одна какая-то точка x=0,5.

Мое представление о решении: я так понимаю сначала нужно построить таблицу x;y. четыре данные точки обзываем x_0-0, x_1=1, x_2=2, x_3=3. Их значения подставляем в формулу и получаем 4 значения функции в данных точках и обзовем их соответственно y_0=0, y_1=1, y_2=4, y_3=9. Теперь переходим к построению многочлена Лагранжа L_3(x). Насколько я помню, формула для его вычисления вроде такая, но могу и ошибаться (!):
L_3(x)= \frac {(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)...(x-x_n)} {(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)...(x_3-x_n)}.
Тогда получается, что для моего случая формула будет такой: L_3(x)=\frac {(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)} {(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}

Некоторые индексы пропущены целенаправленно. Насколько я помню, если ищется L_3(x), то в верхней части дроби не должно быть быть (x-x_3), а в нижней части дроби не должно быть (x_3-x_3). Ну и насколько я понял, то та самая загадочная точка x=0,5 нужна для того, чтобы использовать ее в верхней части дроби.

В таком случае решением задачи будет:
L_3(x)=\frac{(0.5-0) \cdot (0.5-1) \cdot (0.5-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)}=\frac {0.375} {6} = 0.0625

Правильно ли я все сделал? Правильны ли формулы? Как можно проверить, что я все правильно решил?
Когда-то на практике решали такую задачу, но она к сожалению не сохранилась. Там по-моему этот x=0.5 подставляли и в функцию, и в многочлен. Но опять могу что-то путать. Много времени прошло.

Заранее благодарен всем, кто не прошел мимо.

[ИСН]

SLiTHER777 в сообщении #676799 писал(а):

Есть некоторая формула: $y=x^2$.

Вот этот фрагмент информации какое имеет отношение ко всей остальной задаче?
Это важно.

-- Вс, 2013-01-27, 16:15 --

И что такое, кстати, многочлен Лагранжа. Не формула то есть, а чем он знаменит, зачем нужен.

[SLiTHER777]

По формуле $y=x^2$ я нашел значения, которые принимает эта функция, если последовательно подставить туда точки $x_0, x_1, x_2, x_3$.
Пока вы отвечали, я сидел над книгой, читал про интерполирование. Понял, что не правильно решил. Точнее не полностью.

Как я понял, формула многочлена Лагранжа для моего случая должна выглядеть так:
$L(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x)+y_3L_3(x)$

$L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)} {(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}$

$L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}$

$L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}$

$L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}$

Сначала найти все L. Затем подставить их в первую формулу, умножив на соответствующий y. Тогда я и получу то, что требует от меня данная задача, т.е. многочлен $L_3(x)$. Так ведь?

На этот раз правильно решил?

[ИСН]

Ага, так-то лучше.
Есть подозрение, что получившийся многочлен будет довольно прост, так что можно было бы сразу... А впрочем, нет, делайте по описанию. Один раз надо.