Группа Диэдра

[stasiksis]

Такой вопрос, чему равен порядок автоморфизма группы $D_n$?
Нашел в интернете, что он равен $n\cdot\varphi(n)$, это верно?
И еще, как посчитать количество сюрьективных гомоморфизмов кто-нибудь рассказать может?

[Sonic86]

Что такое $D_n$? Группа диэдра?

[stasiksis]

Sonic86 в сообщении #676951 писал(а):

Что такое $D_n$? Группа диэдра?

Да, именно она, по этой ссылке все прочел, решил уточнить у специалистов, так как википедия часто врет.
Больше интересует второй вопрос.

[Sonic86]

stasiksis в сообщении #676962 писал(а):

Да, именно она, по этой ссылке все прочел, решил уточнить у специалистов, так как википедия часто врет.

Ну вообще-то $|D_n|=2n$ (все симметрии легко найти перебором), а где Вы нашли написанную Вами формулу в статье, я не знаю.
(ой, это я фигню написал.)

stasiksis в сообщении #676891 писал(а):

И еще, как посчитать количество сюрьективных гомоморфизмов кто-нибудь рассказать может?

Число сюрьективных гомоморфизмов откуда и куда? Или вообще надо? Группы конечные?

[stasiksis]

Ну мне вообще в принципе интересно как делается это в общем случае, но в моем конкретном случае это из $F_2 в D_n$, где $F_2$ - свободная группа ранга 2.

[Sonic86]

(формулы)

\text: $A\text{ в }$B

stasiksis в сообщении #676971 писал(а):

Ну мне вообще в принципе интересно как делается это в общем случае, но в моем конкретном случае это из $F_2$ в $D_n$, где $F_2$ - свободная группа ранга 2.

Ну давайте подумаем...

(жалкая попытка)

Если $f: F_2\to D_n$ - эпиморфизм, то в $F_2$ д.б. нормальная подгруппа $H_n: F_2/H_n \cong D_n$, индекс $[F:H_n]=|D_n|$ - конечна, т.е. $H_n$ - группа конечного индекса. Для заданного $n$ такие подгруппы можно перебирать руками...

Один эпиморфизм очевиден сразу, он получается из представлений $F_2$ и $D_n$ (явно используем представление для $D_n$)...

В принципе, у меня есть описание $\operatorname{Aut} F_2$, но поможет ли оно нам (там $F_2$ - подгруппа $\operatorname{Aut} F_2$)?
Еще один эпиморфизм получается из невнутреннего автоморфизма $F_2$. Вообще, у $F_2$ есть внешние и внутренние автоморфизмы. Нормальные подгруппы инвариантны под действием внутренних автоморфизмов, значит остаются только внешние. А их у $F_2$ очень мало (кажется, один). Т.е. мы можем получить как минимум $|\operatorname{Out}F_2|$ эпиморфизмов из одного.
А нет, внешних автоморфизмов 4.

В общем виде я не знаю как. Может как-то можно...
Поскольку каждому эпиморфизму биективно соответствует нормальная подгруппа, то число эпиморфизмов совпадает с числом нормальных подгрупп, т.е. можно пытаться перечислять подгруппы...

[stasiksis]

Sonic86 в сообщении #676975 писал(а):

(формулы)

\text: $A\text{ в }$B

Ну давайте подумаем...

Не понял, что Вы пытались сказать...

[apriv]

stasiksis в сообщении #676971 писал(а):

Ну мне вообще в принципе интересно как делается это в общем случае, но в моем конкретном случае это из $F_2 в D_n$, где $F_2$ - свободная группа ранга 2.

Ответ очевидно следует из определения свободной группы.

[Sonic86]

(Оффтоп)

apriv в сообщении #676994 писал(а):

Ответ очевидно следует из определения свободной группы.

не верю

[apriv]

stasiksis в сообщении #676891 писал(а):

Такой вопрос, чему равен порядок автоморфизма группы $D_n$?

Порядок какого именно автоморфизма группы $D_n$ Вас интересует? Их вообще-то много.

-- 27.01.2013, 20:37 --

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #676997 писал(а):

:shock: не верю

Вы хотите об этом поговорить?

[VAL]

Sonic86 в сообщении #676968 писал(а):

stasiksis в сообщении #676962 писал(а):

Да, именно она, по этой ссылке все прочел, решил уточнить у специалистов, так как википедия часто врет.

Ну вообще-то $|D_n|=2n$ (все симметрии легко найти перебором), а где Вы нашли написанную Вами формулу в статье, я не знаю.

$2n$ - это порядок самой $D_n$. А нужен, насколько я понял, порядок $Aut(D_n)$. А ее порядок именно $n\varphi(n)$.

[Sonic86]

VAL в сообщении #676999 писал(а):

$2n$ - это порядок самой $D_n$. А нужен, насколько я понял, порядок $Aut(D_n)$. А ее порядок именно $n\varphi(n)$.

Да, это меня от прошлой темы глючит еще

[stasiksis]

Sonic86 в сообщении #676975 писал(а):

(формулы)

\text: $A\text{ в }$B

stasiksis в сообщении #676971 писал(а):

Ну мне вообще в принципе интересно как делается это в общем случае, но в моем конкретном случае это из $F_2$ в $D_n$, где $F_2$ - свободная группа ранга 2.

Ну давайте подумаем...

(жалкая попытка)

Если $f: F_2\to D_n$ - эпиморфизм, то в $F_2$ д.б. нормальная подгруппа $H_n: F_2/H_n \cong D_n$, индекс $[F:H_n]=|D_n|$ - конечна, т.е. $H_n$ - группа конечного индекса. Для заданного $n$ такие подгруппы можно перебирать руками...

Один эпиморфизм очевиден сразу, он получается из представлений $F_2$ и $D_n$ (явно используем представление для $D_n$)...

В принципе, у меня есть описание $\operatorname{Aut} F_2$, но поможет ли оно нам (там $F_2$ - подгруппа $\operatorname{Aut} F_2$)?
Еще один эпиморфизм получается из невнутреннего автоморфизма $F_2$. Вообще, у $F_2$ есть внешние и внутренние автоморфизмы. Нормальные подгруппы инвариантны под действием внутренних автоморфизмов, значит остаются только внешние. А их у $F_2$ очень мало (кажется, один). Т.е. мы можем получить как минимум $|\operatorname{Out}F_2|$ эпиморфизмов из одного.
А нет, внешних автоморфизмов 4.

В общем виде я не знаю как. Может как-то можно...
Поскольку каждому эпиморфизму биективно соответствует нормальная подгруппа, то число эпиморфизмов совпадает с числом нормальных подгрупп, т.е. можно пытаться перечислять подгруппы...

Расскажите, пожалуйста, что такое $out$... и Как это считается, впервые вижу

[Joker_vD]

Хм. Всего есть $4n^2$ отображений $\{1,2\}\to D_n$, каждое из которых единственным образом продолжается до гомоморфизма $\mathbb F_2\to D_n$. Но теперь надо выбрать из низ те, которые сюръективны.

[Sonic86]

stasiksis в сообщении #677006 писал(а):

Расскажите, пожалуйста, что такое $out$... и Как это считается, впервые вижу

$\operatorname{Out} G=\operatorname{Aut} G/\operatorname{Int} G$ - т.н. группа внешних автоморфизмов, факторгруппа группы автоморфизмов по подгруппе внутренних автоморфизмов $\operatorname{Int} G$. Внутренние автоморфизмы - это автоморфизмы вида $x\to gxg^{-1}$, $\operatorname{Int} G\cong G/Z(G)$.
Подождите, может здесь это вообще не нужно. Надо подумать сначала хорошо.