Группа Диэдра

[apriv]

Joker_vD в сообщении #677013 писал(а):

Хм. Всего есть $4n^2$ отображений $\{1,2\}\to D_n$, каждое из которых единственным образом продолжается до гомоморфизма $\mathbb F_2\to D_n$. Но теперь надо выбрать из низ те, которые сюръективны.

Ну, дальше-то несложно; можно применить формулу включения-исключения, а можно по-простому посмотреть на то, каким может быть образ.

[VAL]

stasiksis в сообщении #677006 писал(а):

Расскажите, пожалуйста, что такое $out$... и Как это считается, впервые вижу

Автоморфизмы группы бывают внутренними (они задаются сопряжениями типа $x \rightarrow a^{-1}xa$) и внешними (не задаваемыми сопряжением). Через $Out(G)$ обычно обозначают факторгруппу группы $Aut(G)$ по нормальной подгруппе, которую образуют внутренние автоморфизмы.

ЗЫ: Пока набирал - уже ответили. Но не прибивать же

[Sonic86]

apriv в сообщении #677015 писал(а):

Joker_vD писал(а):

Хм. Всего есть $4n^2$ отображений $\{1,2\}\to D_n$, каждое из которых единственным образом продолжается до гомоморфизма $\mathbb F_2\to D_n$. Но теперь надо выбрать из низ те, которые сюръективны.

Ну, дальше-то несложно; можно применить формулу включения-исключения, а можно по-простому посмотреть на то, каким может быть образ.

У меня получилось $3\frac{\varphi^2(n)}{2^{[2\mid n]}}$. Правильно?

upd 28.01.2013: В числителе не $\varphi^2(n)$, а $\prod\limits_{p\mid n}(p^2-1)$.

[stasiksis]

Sonic86 в сообщении #677035 писал(а):

apriv в сообщении #677015 писал(а):

Joker_vD писал(а):

Хм. Всего есть $4n^2$ отображений $\{1,2\}\to D_n$, каждое из которых единственным образом продолжается до гомоморфизма $\mathbb F_2\to D_n$. Но теперь надо выбрать из низ те, которые сюръективны.

Ну, дальше-то несложно; можно применить формулу включения-исключения, а можно по-простому посмотреть на то, каким может быть образ.

У меня получилось $3\frac{\varphi^2(n)}{2^{[2\mid n]}}$. Правильно?

А что за формула включения-выключения такая интересная?
Кто нить подробнее расскажет?

[Sonic86]

stasiksis в сообщении #677039 писал(а):

А что за формула включения-выключения такая интересная?

Я думаю, раз уж Вы смогли нагуглить группу диэдра в Википедии, то и формулу включений-исключений тоже сможете нагуглить. А вообще эта формула - более базовая вещь, чем свободные группы, ее знать надо, иначе незачем пытаться свободные группы изучать.

stasiksis в сообщении #677039 писал(а):

Кто нить подробнее расскажет?

Здесь не пишут решения целиком. Что Вам конкретно непонятно? Отображения множеств до гомоморфизмов умеете продолжать? Представление группы диэдра знаете?

[stasiksis]

Sonic86 в сообщении #677043 писал(а):

stasiksis в сообщении #677039 писал(а):

А что за формула включения-выключения такая интересная?

Я думаю, раз уж Вы смогли нагуглить группу диэдра в Википедии, то и формулу включений-исключений тоже сможете нагуглить. А вообще эта формула - более базовая вещь, чем свободные группы, ее знать надо, иначе незачем пытаться свободные группы изучать.

stasiksis в сообщении #677039 писал(а):

Кто нить подробнее расскажет?

Здесь не пишут решения целиком. Что Вам конкретно непонятно? Отображения множеств до гомоморфизмов умеете продолжать? Представление группы диэдра знаете?

Да, разберусь по ходу, спасибо за помощь всем.

[Toucan]

Оффтопик про Диэдра, Буравчика и т.п. отделен сюда: «Почему Диэдра с большой буквы?»

[Joker_vD]

Sonic86
А какие такие интересные множества вы объединяли? Я посчитал в лоб, и получилось $3n\cdot\varphi(n)$. А ваш ответ почему-то бывает нечетным, чего быть не должно, мы ведь, честно говоря, просто считаем, сколькими способами можно выбрать два элемента, которые породят нам всю $D_{n}$, считая выборы $(a,b)$ и $(b,a)$ различными.