Поле

[oly]

будет ли потенциальным поле $a=(-3x+yz)i+(-3y+xz)j+(-3z+xy)k$ ?

[Yu_K]

А что такое потенциальное поле?

[oly]

Yu_K в сообщении #676419 писал(а):

А что такое потенциальное поле?

векторное поле F называется потенциальным если $F=\operatorname{grad}u$
функция u называется потенциальным вектором поля F

[ewert]

oly в сообщении #676437 писал(а):

векторное поле F называется потенциальным если $F=\operatorname{grad}u$

Что является критерием потенциальности поля?...

[oly]

ewert в сообщении #676442 писал(а):

oly в сообщении #676437 писал(а):

векторное поле F называется потенциальным если $F=\operatorname{grad}u$

Что является критерием потенциальности поля?...

$\operatorname{rot}F=0$ ??

[ewert]

oly в сообщении #676461 писал(а):

$\operatorname{rot}F=0$ ??

Так и считайте.

[apriv]

Я ничего не понял. Как знание того, что $\mathrm{rot}(F)=0$ поможет в доказательстве того, что $F=\mathrm{grad}(u)$? Я всегда думал, что $\mathrm{rot}$ и $\mathrm{grad}$ — это такие сложные обозначения для внешней производной $d$ или что-то в этом роде.

[ewert]

apriv в сообщении #676557 писал(а):

Я всегда думал, что $\mathrm{rot}$ и $\mathrm{grad}$ — это такие сложные обозначения для внешней производной $d$ или что-то в этом роде.

Это чудь какая-то. В трёхмерном случае потенциальность поля равносильна равенству нулю ротора (если, конечно, нет каких-то особых точек; ну а уж тут-то их заведомо нет).

[apriv]

ewert в сообщении #676559 писал(а):

В трёхмерном случае потенциальность поля равносильна равенству нулю ротора (если, конечно, нет каких-то особых точек; ну а уж тут-то их заведомо нет).

Вот и славненько; хотелось бы, чтобы автор вопроса это самое «заведомо» тоже понимал (а то вообще неизвестно, где это самое поле рассматривается и кто такие $i$, $j$ и $k$.

[ewert]

(Оффтоп)

apriv в сообщении #676561 писал(а):

хотелось бы, чтобы автор вопроса это самое «заведомо» тоже понимал

А он и обязан это понимать; хуже того скажу -- для него это должно быть общее место. В рамках того курса, который он изучает.

[мат-ламер]

ewert в сообщении #676559 писал(а):

трёхмерном случае потенциальность поля равносильна равенству нулю ротора (если, конечно, нет каких-то особых точек; ну а уж тут-то их заведомо нет).

Хорошо, а допустим такие точки (изолированные) есть? Как пример - электрическое поле конечной системы зарядов. Вроде утверждение остаётся справедливым. А вот если вырожденные точки образуют линию? Как пример - магнитное поле. Тогда не катит. Как это сказать мат. языком? Гомотопическая группа области нулевая?

[apriv]

мат-ламер в сообщении #676659 писал(а):

Как это сказать мат. языком? Гомотопическая группа области нулевая?

Например, когомологии постоянного пучка $\underline{\mathbb{R}}$ на стягиваемом пространстве тривиальны, а на нестягиваемом — не обязательно.