2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Prime pink noise
Сообщение30.12.2012, 05:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2112
Минск, Беларусь
Рассмотрим тригонометрическую сумму
$$S(t,u)=\sum\limits_{p<e^u}\frac{e^{2\pi i p t}}{\sqrt{p}}$$
где $p$ пробегает простые числа.

Графики таких сумм при фиксированном $u$ напоминают розовый шум, т.к. квадрат амплитуды периодических составляющих обратно пропорционален частоте:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Pl ... %2C1%7D%5D

Однако для рациональных $t$ видны выбросы, связанные распределением простых в кольцах вычетов по тому или иному модулю. Таким образом, возникает интерес к функции
$$f(t)=\lim\limits_{u\rightarrow\infty}\frac{1}{S(t,u)}$$
Очевидно, она обращается в нуль при целых и полуцелых $t$. Нетрудно также заметить, что это происходит в рациональных точках $t = b/q$ с нечётным знаменателем $q$ (именно эти "выбросы" хорошо видны на графике).

Но что можно сказать о других её нулях?

Скажем, при чётных $q>2$ набор вычетов по модулю $q$, взаимно простых с $q$, расположен так, что начинает играть роль баланс простых, сравнимых по данному модулю:
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevBias.html
http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870
http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/PrimeRace.pdf
Например, при $t=1/4$ становится важным небольшое преимущество в количестве простых вида $4k+3$ над простыми вида $4k+1$. Если учесть, что это преимущество появляется благодаря тому, что все квадраты нечётных простых имеют вид $4k+1$, то вполне логично ожидать, что $f(1/4)=0$ (другими словами, если бы суммирование велось по степеням простых с учётом их $\Lambda$-веса, то предел бы не существовал, а так наличие упомянутого преимущества уводит сумму в бесконечность, а предел - в ноль).

Возможно, функция обращается в ноль на всех рациональных $t$. Но определена ли она на иррациональных $t$, и если да, что чему она там равна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Prime pink noise
Сообщение06.01.2013, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2112
Минск, Беларусь
Вот тут есть пара интересных идей: http://arxiv.org/abs/0912.4908

Впрочем, наверное, мало кому тут это интересно :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Prime pink noise
Сообщение25.01.2013, 17:29 


23/02/12
3434
Droog_Andrey в сообщении #667812 писал(а):
Вот тут есть пара интересных идей: http://arxiv.org/abs/0912.4908

Впрочем, наверное, мало кому тут это интересно :)

Почему очень интересно!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group