Рассмотрим тригонометрическую сумму

где

пробегает простые числа.
Графики таких сумм при фиксированном

напоминают розовый шум, т.к. квадрат амплитуды периодических составляющих обратно пропорционален частоте:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Pl ... %2C1%7D%5DОднако для рациональных

видны выбросы, связанные распределением простых в кольцах вычетов по тому или иному модулю. Таким образом, возникает интерес к функции

Очевидно, она обращается в нуль при целых и полуцелых

. Нетрудно также заметить, что это происходит в рациональных точках

с нечётным знаменателем

(именно эти "выбросы" хорошо видны на графике).
Но что можно сказать о других её нулях?
Скажем, при чётных

набор вычетов по модулю

, взаимно простых с

, расположен так, что начинает играть роль баланс простых, сравнимых по данному модулю:
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevBias.htmlhttp://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/PrimeRace.pdfНапример, при

становится важным небольшое преимущество в количестве простых вида

над простыми вида

. Если учесть, что это преимущество появляется благодаря тому, что все квадраты нечётных простых имеют вид

, то вполне логично ожидать, что

(другими словами, если бы суммирование велось по степеням простых с учётом их

-веса, то предел бы не существовал, а так наличие упомянутого преимущества уводит сумму в бесконечность, а предел - в ноль).
Возможно, функция обращается в ноль на всех рациональных

. Но определена ли она на иррациональных

, и если да, что чему она там равна?