Prime pink noise

[Droog_Andrey]

Рассмотрим тригонометрическую сумму

$$S(t,u)=\sum\limits_{p<e^u}\frac{e^{2\pi i p t}}{\sqrt{p}}$$

где $p$ пробегает простые числа.

Графики таких сумм при фиксированном $u$ напоминают розовый шум, т.к. квадрат амплитуды периодических составляющих обратно пропорционален частоте:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Pl ... %2C1%7D%5D

Однако для рациональных $t$ видны выбросы, связанные распределением простых в кольцах вычетов по тому или иному модулю. Таким образом, возникает интерес к функции

$$f(t)=\lim\limits_{u\rightarrow\infty}\frac{1}{S(t,u)}$$

Очевидно, она обращается в нуль при целых и полуцелых $t$. Нетрудно также заметить, что это происходит в рациональных точках $t = b/q$ с нечётным знаменателем $q$ (именно эти "выбросы" хорошо видны на графике).

Но что можно сказать о других её нулях?

Скажем, при чётных $q>2$ набор вычетов по модулю $q$, взаимно простых с $q$, расположен так, что начинает играть роль баланс простых, сравнимых по данному модулю:
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevBias.html
http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870
http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/PrimeRace.pdf
Например, при $t=1/4$ становится важным небольшое преимущество в количестве простых вида $4k+3$ над простыми вида $4k+1$. Если учесть, что это преимущество появляется благодаря тому, что все квадраты нечётных простых имеют вид $4k+1$, то вполне логично ожидать, что $f(1/4)=0$ (другими словами, если бы суммирование велось по степеням простых с учётом их $\Lambda$-веса, то предел бы не существовал, а так наличие упомянутого преимущества уводит сумму в бесконечность, а предел - в ноль).

Возможно, функция обращается в ноль на всех рациональных $t$. Но определена ли она на иррациональных $t$, и если да, что чему она там равна?

[Droog_Andrey]

Вот тут есть пара интересных идей: http://arxiv.org/abs/0912.4908

Впрочем, наверное, мало кому тут это интересно :)

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #667812 писал(а):

Вот тут есть пара интересных идей: http://arxiv.org/abs/0912.4908

Впрочем, наверное, мало кому тут это интересно :)

Почему очень интересно!