Точка в определении непрерывности в точке

[Konstant]

Вопрос про точку в определении непрерывности функции в этой самой точке. В книге Никольский С.М. "Курс математического анализа. Том 1"(параграф 4.2) говорится, что точка должна входить в множество вместе с некоторой окрестностью. Когда в книге Г.М. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления"(параграф 4 п.66) требуется лишь, чтобы точка была точкой сгущения(предельная). Где правда? Все-таки должна ли вместе с точкой входить ее окрестность?

[AGu]

Поскольку непрерывность -- понятие топологическое, "самые правильные" определения этого понятия стоит искать в учебниках по топологии, а не по анализу.

Пусть $X$ и $Y$ -- топологическое пространства, $D\subseteq X$. По одному из (классических) определений функция $f:D\to Y$ непрерывна в точке $x\in D$, если для любой окрестности $V\subseteq Y$ точки $f(x)$ существует такая окрестность $U\subseteq X$ точки $x$, что $f[U\cap D]\subseteq V$.

Как видно, это определение имеет смысл без каких-либо дополнительных условий на связь точки $x$ с множеством $D$. Более того, непрерывность функции зависит только от (индуцированной) топологии на $D$ и не зависит от того, как $D$ вложено в $X$, да и вложено ли оно вообще куда-нибудь. Это означает, что при определении непрерывности можно считать (не нарушая общности), что функция определена всюду на $X$. (При этом в аналитических приложениях роль $X$ будет играть не $\mathbb R$ или там $\mathbb R^n$, а область определения рассматриваемой функции, снабженная индуцированной топологией.)

Резюмирую. На мой взгляд, любые дополнительные ограничения на связь $x$ с $D$ -- в том числе, вхождение вместе с окрестностью или даже требование пределельности -- все они, мягко говоря, "от лукавого" или, если угодно, носят исключительно вкусовой характер. Ну а если говорить грубовато, то такого рода ограничение -- особенно если оно в толстом учебнике -- можно счесть вредным, так как оно способно смутить неопытный ум и отдалить его от понимания сути явления.

Вот, как-то так.
Ну еще и слегка вот так.

М-даа... Ребят, я не слишком старательно притворяюсь умным?

[Joker_vD]

"Секвенциальная непрерывность". Ммм?

[SpBTimes]

Просто точки делят на изолированные и предельные. И непрерывность в предельной точке равносильна пределу, а в изолированной получается автоматически из определения ($E$ - область определения $f(x)$):
$\forall V(f(x_0)) \exists U_{E}^{\delta} : f(U_{E}^{\delta}) \in V(f(x_0))$

[Konstant]

Всем спасибо! К сожалению, пока плохо знаком с топологией. А сейчас копну Зорича=)

[AGu]

Joker_vD в сообщении #675596 писал(а):

"Секвенциальная непрерывность". Ммм?

А что с ней не так? К ней мои "претензии" тоже применимы.
Если $x_n\in D$ $(n\in\mathbb N)$, $x\in D$ и $x_n\to x$, то $f(x_n)\to f(x)$. Все осмысленно без каких-либо дополнительных условий на связь $x$ с $D$.

SpBTimes в сообщении #675606 писал(а):

Просто точки делят на изолированные и предельные. И непрерывность в предельной точке равносильна пределу, а в изолированной получается автоматически из определения

Хорошее замечание, к месту.
P.S. [занудство]
"равносильно пределу" $:=$ "равносильно совпадению предела со значением"
[/занудство]

[Joker_vD]

AGu
Если последовательность $\{x_n\}\subset D$ сходится к $x$, это кое-что говорит о связи $x$ и $D$, правда же? А непрерывность в изолированной точке... да, любая определенная на дискретном пространстве функция непрерывна всюду, но много ли от этого толку/пользы?

[AGu]

Joker_vD в сообщении #675835 писал(а):

AGu
Если последовательность $\{x_n\}\subset D$ сходится к $x$, это кое-что говорит о связи $x$ и $D$, правда же?

Если вспомнить, что $x\in D$, то -- неправда, ни о чем это не говорит. (У нас тут, может, и не самая либеральная обстановка, но постоянные последовательности, насколько я знаю, пока еще никто не успел запретить. )

Joker_vD в сообщении #675835 писал(а):

да, любая определенная на дискретном пространстве функция непрерывна всюду, но много ли от этого толку/пользы?

Не берусь оценить количество такого толку, но оно заведомо больше, чем количество толку от ничем не обоснованного ограничения -- по той простой причине, что от последнего толку ровно ноль.

P.S. Пустой спор, ей-богу. Во-первых, это определения. Во-вторых, традиции уже сложились. В-третьих, спать пора.

[apriv]

Joker_vD в сообщении #675835 писал(а):

да, любая определенная на дискретном пространстве функция непрерывна всюду, но много ли от этого толку/пользы?

Ровно столько, сколько от непрерывности вообще, поскольку это моментально следует из определения. Если по каким-то причинам не любую функцию на дискретном пространстве считать непрерывной, то сломается большинство разумных теорем.

[ChaosProcess]

apriv в сообщении #675854 писал(а):

Если по каким-то причинам не любую функцию на дискретном пространстве считать непрерывной, то сломается большинство разумных теорем.

Можете привести пример такой теоремы?

[apriv]

Подойдет вообще любая теорема, в формулировку которой можно подставить дискретное пространство. Ну хоть теорема Стоуна о представимости.

[_hum_]

Joker_vD в сообщении #675835 писал(а):

да, любая определенная на дискретном пространстве функция непрерывна всюду, но много ли от этого толку/пользы?

Дискретном по мощности, или с дискретной топологией? Потому как на первых не все функции непрерывны.

[apriv]

Я не знаю, что такое «дискретное по мощности», но если все отображения из пространства непрерывны, то оно дискретно.

[_hum_]

apriv в сообщении #675911 писал(а):

Я не знаю, что такое «дискретное по мощности».

Имел в виду то, мощность которого не превосходит мощности натуральных чисел.

[apriv]

Никогда не встречал такой терминологии; такое множество называется «[не более чем] счетным».