Очень даже вероятно, что тождества Варшамова, для чисел Бернули, действительно справедливы. Что касается самого доказательства, то его сначала нужно перевести на нормальный математический язык, только после этого можно будет точно определить, правильное оно или неправильное. Прием с двойным упорядочением множества целых чисел, принадлежит однако не Варшамову, а Эйлеру.
Как хорошо известно, Эйлер
http://lib.mexmat.ru/books/623 (см. стр.99)
предложил различать числа вида
-1,-2,-3,...,-n,... которые можно рассматривать как имена для некоторых
новых бесконечных чисел и числа вида
+1/-1,+2/1,+3/-1,...,+n/-1,... которые можно рассматривать как
обычные отрицательные числа. На формальном языке эта процедура эквивалентна двойному упорядочению множества вещественных чисел, о котором я упоминал выше.
Например у Варшамова,точно также как и у Эйлера, запись:
,
есть просто обозначение того факта, что
бесконечное число
,
имеет имя
(-1/2)/1
Я надеюсь, что Вы понимаете, что присвоение имен, неким
чисто гипотетическим бесконечным числам, никаким образом не может являться серьезным основанием для их использования как инструмента математического доказательства. Необходимо еще показать, что такие новые объекты,как например
эйлеровские бесконечные числа
,
,
существуют в рамках теории множествZFC.
Успешные манипуляции с такими именами, могут составить только саму формальную идею доказательства или играть роль наводящих соображений. Что конечно само по себе, тоже немаловажно.
Великий французский математик Александр Гротендик,
предлагал как то организовать спецжурнал, для публикации таких сырых идей. Но это дело не нашло поддержки и заглохло накорню.
Вполне возможно, что Варшамов, нашел формальный алгебраический прием, который заставляет эту эйлеровскую идею работать. Тем не менее само строгое обоснование таких
приемов, как правило является делом очень длинным и очень сложным. Я Вам уже привел пример с теоремой Эйлера о сумме ряда Эйлера-Гольдбаха:
Артамонов Ю.Н. писал(а):
По ссылке, действительно Эйлер логарифмирует свое тождество при
, которое представляет два расходящихся ряда, выделяет сумму обратных простых, асимптотически оценивает рост этой суммы как
, что согласуется с приведенной ниже формулой Мертенса.
Вся некорректность состоит в использовании расходящихся рядов, но никак не согласуется с вашим утверждением:
Котофеич писал(а):
Доказательства же Эйлера и Бернули этого факта, использующее расходящиеся ряды, было не только не строгим, но и нелепым.
Ну не умеют математики объяснять, почему при манипулировании расходящимися рядами неожиданно получаются верные результаты, почему такие манипуляции нелепы.
Вообще, математики уже используют формальные ряды и получают многие комбинаторные тождества.
Эйлер логарифмировал свое тождество при
s=1, не просто так, а потому что он считал,
что имеет на это законное право. Эйлер рассматривал объекты вида
,
как числа и потому делал с ними что хотел.
На современном языке, это означает, что
Эйлер строил свой анализ не над неархимедовым робинсоновским полем
, а над его дедекиндовым пополнением т.е. над неархимедовым полем
. Все эйлеровские бесконечные числа, являются как раз элементами неархимедова поля
.
Другими словами на доказательства Эйлера можно смотреть двояко. Можно считать что это
глупости, а можно считать что и нет, просто доказательства неполные, потому что в то время
не было специальной техники, которая позволяет формализовать такие доказательства. Эта
техника появилась в законченном виде, уже только в конце
XX века.
То что Эйлер "доказал" коротко и просто, формально оперируя с расходящимися рядами, обосновать на
строгом математическом уровне, оказалось далеко не просто
Вот Вам еще один пример:
http://www.turpion.org/php/paper.phtml? ... er_id=1868
The correctness of Euler's method for the factorization of the sine function into an infinite product
Volume 43 (198
Number 4
Pages 65-94
V G Kanovei
Abstract
CONTENTS
Introduction
§ 1. Euler's method. The basic statements
§ 2. Non-standard analysis
§ 3. The derivation of Euler's factorizations using non-standard analysis
§ 4. Euler's construction in the system of non-standard analysis
§ 5. Factors and coefficients in Euler's construction
§ 6.
A factorization that Euler did not want to complete
§ 7. The summation of infinitesimals
§ 8. Formal infinity as a mathematical object
§ 9. Representations of the exponential as a series and as a power
§ 10. Comparing the coefficients of non-standard polynomials
Conclusion
References
DOI 10.1070/RM1988v043n04ABEH001868
Citation V G Kanovei, "The correctness of Euler's method for the factorization of the sine function into an infinite product", RUSS MATH SURV, 1988, 43 (4), 65-94.
Full Text Download PDF file (1612 kB)