Метод суммирования Варшамова Р.Р.

[Котофеич]

Упорядочить, вообще говоря, Вы можете как захотите. Т.е. с достаточно большим произволом. У Варшамова одновременно используются две порядковых структуры стандартная:
1).$<$ и некая дополнительная нестандартная
2).$<^{*}$
http://lib.mexmat.ru/books/1649
Так что к примеру
3).$-1<1$ и одновременно
4).$1<^{*}-1$
Варшамов это дело не подчеркивает, а зря.
Вожно только чтобы у Вас при таком дополнительном упорядочении, появились некие бесконечные элементы в смысле Робинсона, а точнее даже более сложной природы...
Которые являются элементами неархимедова поля .$R^{*}_{D}$
оснащенного аж двумя порядковыми структурами
5).$<,<^{*}$
И которые лучше обозначить вот так

$$\omega{*},\omega{*}+1,..., \omega{*}+n,... $$

,
http://lib.mexmat.ru/books/1649
У Варшамова при его упорядочении, роль таких элементов выполняют обычные отрицательные числа.$-1,-2,-3, ...-n,...$
Вместо

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}1=-1/2$$

,
следует писать

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}1=\omega{*}/2$$

.
Обозначения Варшамова без специального разъяснения, которое у него отсутствует, создают путаницу, потому что простой народ недоумевает, а
как это сумма бесконечного ряда с положительными членами, конечна да ешо и отрицательна
В теоретической физике, такие методы суммирования применяются уже лет 50 и называются
методом перенормировок. Фейнман за это дело получил нобеля. Физиков уже давно не смущает что

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}1=1/2$$

или что также

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}n= -1/12 $$

.
Последнее равенство имеет в теории бозонной струны, даже абсолютно четкую физическую интерпретацию
Разумеется для большинства современных математиков, которые кроме арифметики Магницкого ничего больше не осилили, это все может казаться странным или даже диким

[Котофеич]

Для тех кто интерисуется, поясню на простом примере на что претендует Варшамов со своей теорией.
Почти триста лет назад Эйлер, http://lib.mexmat.ru/series/9
путем формальных и совершенно бессмысленных манипуляций с расходящимся гармоническим рядом
H=1+1/2+1/3+....
"доказал" следующую теорему:
Theorem. (Euler 1737г.)
ON A SERIES OF GOLDBACH AND EULER
http://www.recercat.net/bitstream/2072/920/1/776.pdf
Cons ider the following series, indefinitely
continued,
1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ · · ·
whose denominators, increased by one, are all the numbers
which are powers of the integers, either squares or any other
higher degree. Thus each term may be expressed by the for-
mula

$$\frac {1} {m^{n}-1}$$

where $m$ and $n$ are integers greater than one.
The sum of this series is 1.

Другими словами Эйлер "доказал" что

1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ · · ·=1

C точки зрения нормальной математики, эйлеровское доказательство принципиально неверно, поскольку ряд H=1+1/2+1/3+.... расходится и не задает никакого вещественного числа.
Тем не менее этот результат Эйлера уже почти в наше
время, был строго доказан, с помощью современных методов и доказательство теоремы Эйлера, опирается на решение одной из очень трудных проблем теории чисел (проблема Каталана, Tauno Metsnkyl, Catalan’s conjecture: another old Diophantine problem solved,
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 41 (2004), no. 1, 43–57.)
полученное тоже сравнительно недавно. Получено также доказательство на базе ТКП.
Таким образом правильное доказательство этой теоремы Эйлера, далеко не простое и коротким его тоже нельзя назвать.
Эйлер точно также как и Варшамов, неявно предполагал,
что сумма H=1+1/2+1/3+.... существует и задает
некоторое число, которое Эйлер называл бесконечным числом. Разумеется на современном уровне строгости, такие доказательства, абсолютно не приемлемы и никем
не признаются в серьез.
Таким образом мы имеем пример того, когда совершенно некорректное рассуждение, приводит к правильному результату. "Доказательство" самого Эйлера, отличается
чрезвычайной краткостью и поэтому многие любители пытались реконструировать оригинальный подход Эйлера, в надежде получить общий метод, который мог бы позволить получать короткие доказательства очень трудных математических теорем.
Варшамов не выходит за рамки эйлеровского подхода. Он
точно также как и Эйлер постулирует, что существует некая операция, способная сопоставить расходящимся рядам некую сумму, которая обладает определенными свойствами. Теорема существования такой операции, у
него отсутствует.

[juna]

Чевой-то вы на Эйлера бочку катите.
Его "манипуляции" с расходящимися рядами были гениальны.
Строгость в математике понятие относительное, зависящее от принятых непогрешимыми в данный момент времени аксиом, но это всегда плавающие в некоторых границах истины. В настоящий момент манипуляции с расходящимися рядами считаются недоказательными, поскольку не найдено обобщающего принципа какую сумму расходящемуся ряду приписывать, разные методы суммирования могут давать разные результаты для одного и того же ряда. Но этот факт не является определяющим к тому, что расходящиеся ряды нужно отбросить как ненадежное средство и что дальнейший прогресс не вернет к ним.
Что касается работы Варшамова, то здесь я не специалист, и хотелось бы услышать мнение квалифицированного специалиста. Конечно, работа далека от общепринятых строгих рамок. Постулируемый им метод вроде линеен, по-поводу регулярности я высказал сомнения. Сейчас нет времени детально все это изучать. Может кто-то уже читал и сформировал свое мнение?

[Котофеич]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Чевой-то вы на Эйлера бочку катите.
Его "манипуляции" с расходящимися рядами были гениальны.

Конечно гениальны. Эйлер сам писал что они противоречивы. Потом я привел конкретный
пример эйлеровского "доказательства", которое является принципиально ошибочным. Что касается строгости в математике, то это понятие приобрело четкий смысл еще задолго до
Эйлера. Во времена Эйлера, отсутствовала строгая теория вещественных чисел, которую
Эйлер и его современники, часто подменяли всякими нелепыми фантазиями. Например бесконечность множества простых чисел, была строго доказана еще за 1000 лет до Эйлера. Доказательства же Эйлера и Бернули этого факта, использующее расходящиеся ряды, было не только не строгим, но и нелепым.

[AndAll]

Котофеич писал(а):

:
Другими словами Эйлер "доказал" что

1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ · · ·=1

C точки зрения нормальной математики, эйлеровское доказательство принципиально неверно, поскольку ряд H=1+1/2+1/3+.... расходится и не задает никакого вещественного числа.
Тем не менее этот результат Эйлера уже почти в наше
время, был строго доказан, с помощью современных методов и доказательство теоремы Эйлера, опирается на решение одной из очень трудных проблем теории чисел.

Почему, «с точки зрения нормальной математики», из расходимости гармонического ряда следует, что «эйлеровское доказательство» того, что

1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ • • •=1

«принципиально неверно». Возможно, есть другие причины считать его неверным, но приведенная Вами таковой не является.
Но, коль скоро, этот результат все же был строго доказан, то, вероятно, Вы просто не можете понять всех действующих механизмов его доказательства, которые Эйлеру были известны и которые он считал, возможно, само собой разумеющимися.

[juna]

Котофеич писал(а):

бесконечность множества простых чисел, была строго доказана еще за 1000 лет до Эйлера. Доказательства же Эйлера и Бернули этого факта, использующее расходящиеся ряды, было не только не строгим, но и нелепым.

Вот здесь я вас не понял, Эйлер доказал, что ряд из величин, обратных к простым числам, расходится, разве отсюда автоматически не следует, что простых бесконечно много? Существует и другое доказательство через квадратичные вычеты (и не одно), тоже, по-моему, принадлежащее Эйлеру.

[Brukvalub]

Существует древнее док-во бесконечности множества простых чисел, в котором каждое новое простое число является делителем числа, на 1 большего произведения любого конечного множества "старых" простых.

[Котофеич]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Вот здесь я вас не понял, Эйлер доказал, что ряд из величин, обратных к простым числам, расходится, разве отсюда автоматически не следует, что простых бесконечно много? Существует и другое доказательство через квадратичные вычеты (и не одно), тоже, по-моему, принадлежащее Эйлеру.

Эйлеровское доказательство использует формальное тождество, которое не имеет
математического смысла. Здесь приведено эйлеровское "доказательство" и для примера строгое доказательство данное Эрдешем:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that ... s_diverges

AndAll писал(а):

Почему, «с точки зрения нормальной математики», из расходимости гармонического ряда следует, что «эйлеровское доказательство» того, что

1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ • • • =1

«принципиально неверно». Возможно, есть другие причины считать его неверным, но приведенная Вами таковой не является.
Но, коль скоро, этот результат все же был строго доказан, то, вероятно, Вы просто не можете понять всех действующих механизмов его доказательства, которые Эйлеру были известны и которые он считал, возможно, само собой разумеющимися.

Почему это Вы решили, что я не могу понять Это Вы почемуйто, не можете понять, что расходящийся ряд не задает никакого вещественного числа.

Brukvalub писал(а):

Существует древнее док-во бесконечности множества простых чисел, в котором каждое новое простое число является делителем числа, на 1 большего произведения любого конечного множества "старых" простых.

Ну так и я о том же. Строгие доказательства существовали еще в древности. А вот в
17 веке, в умах некоторых математиков, царил бардак

[AndAll]

Котофеич писал(а):

Почему это Вы решили, что я не могу понять Это Вы почемуйто, не можете понять, что расходящийся ряд не задает никакого вещественного числа.

Как именно расходимость данного ряда следует из расходимости гармонического?

Эвклид жил за 2000 лет до Эйлера.

[Котофеич]

AndAll писал(а):

Котофеич писал(а):

Почему это Вы решили, что я не могу понять Это Вы почемуйто, не можете понять, что расходящийся ряд не задает никакого вещественного числа.

Как именно расходимость данного ряда следует из расходимости гармонического?
Эвклид жил за 2000 лет до Эйлера.

Во первых речь идет о сходящемся ряде 1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ • • •
который равен 1
1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ • • • =1
Во вторых в оригинальном эйлеровском "доказательстве" этого факта,
http://www.recercat.net/bitstream/2072/920/1/776.pdf
ключевую роль играет предположение, что существует некое вполне конкретное бесконечное число
H=1+1/2+1/3+.... +1/n+...Я думаю, что Вам ясно, что ничего подобного в строгом смысле не существует.

[juna]

По ссылке, действительно Эйлер логарифмирует свое тождество при $s=1$, которое представляет два расходящихся ряда, выделяет сумму обратных простых, асимптотически оценивает рост этой суммы как $\ln\ln(n)$, что согласуется с приведенной ниже формулой Мертенса.
Вся некорректность состоит в использовании расходящихся рядов, но никак не согласуется с вашим утверждением:

Котофеич писал(а):

Доказательства же Эйлера и Бернули этого факта, использующее расходящиеся ряды, было не только не строгим, но и нелепым.

Ну не умеют математики объяснять, почему при манипулировании расходящимися рядами неожиданно получаются верные результаты, почему такие манипуляции нелепы.
Вообще, математики уже используют формальные ряды и получают многие комбинаторные тождества.

[Котофеич]

Очень даже вероятно, что тождества Варшамова, для чисел Бернули, действительно справедливы. Что касается самого доказательства, то его сначала нужно перевести на нормальный математический язык, только после этого можно будет точно определить, правильное оно или неправильное. Прием с двойным упорядочением множества целых чисел, принадлежит однако не Варшамову, а Эйлеру.
Как хорошо известно, Эйлер
http://lib.mexmat.ru/books/623 (см. стр.99)
предложил различать числа вида -1,-2,-3,...,-n,... которые можно рассматривать как имена для некоторых новых бесконечных чисел и числа вида
+1/-1,+2/1,+3/-1,...,+n/-1,... которые можно рассматривать как обычные отрицательные числа. На формальном языке эта процедура эквивалентна двойному упорядочению множества вещественных чисел, о котором я упоминал выше.
Например у Варшамова,точно также как и у Эйлера, запись:

$$ \Sigma_{n=0} ^{n<\omega} 1=-1/2$$

,
есть просто обозначение того факта, что бесконечное число

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}1$$

,
имеет имя (-1/2)/1


Я надеюсь, что Вы понимаете, что присвоение имен, неким
чисто гипотетическим бесконечным числам, никаким образом не может являться серьезным основанием для их использования как инструмента математического доказательства. Необходимо еще показать, что такие новые объекты,как например эйлеровские бесконечные числа

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}1$$

,

$$ H=\Sigma_{n=1} ^{n<\omega}1/n$$

,
существуют в рамках теории множествZFC.
Успешные манипуляции с такими именами, могут составить только саму формальную идею доказательства или играть роль наводящих соображений. Что конечно само по себе, тоже немаловажно.

Великий французский математик Александр Гротендик,
предлагал как то организовать спецжурнал, для публикации таких сырых идей. Но это дело не нашло поддержки и заглохло накорню.



Вполне возможно, что Варшамов, нашел формальный алгебраический прием, который заставляет эту эйлеровскую идею работать. Тем не менее само строгое обоснование таких
приемов, как правило является делом очень длинным и очень сложным. Я Вам уже привел пример с теоремой Эйлера о сумме ряда Эйлера-Гольдбаха:

$$ \Sigma_{n>1,m>1} ^{n< \omega , m< \omega } \frac {1} {m^{n} -1}=1$$

Артамонов Ю.Н. писал(а):

По ссылке, действительно Эйлер логарифмирует свое тождество при $s=1$, которое представляет два расходящихся ряда, выделяет сумму обратных простых, асимптотически оценивает рост этой суммы как $\ln\ln(n)$, что согласуется с приведенной ниже формулой Мертенса.
Вся некорректность состоит в использовании расходящихся рядов, но никак не согласуется с вашим утверждением:

Котофеич писал(а):

Доказательства же Эйлера и Бернули этого факта, использующее расходящиеся ряды, было не только не строгим, но и нелепым.

Ну не умеют математики объяснять, почему при манипулировании расходящимися рядами неожиданно получаются верные результаты, почему такие манипуляции нелепы.
Вообще, математики уже используют формальные ряды и получают многие комбинаторные тождества.

Эйлер логарифмировал свое тождество при s=1, не просто так, а потому что он считал,
что имеет на это законное право. Эйлер рассматривал объекты вида

$$H=\Sigma_{n=1} ^{n<\omega}1/n$$

,
как числа и потому делал с ними что хотел. На современном языке, это означает, что
Эйлер строил свой анализ не над неархимедовым робинсоновским полем
$R^{*}$, а над его дедекиндовым пополнением т.е. над неархимедовым полем $R^{*}_{D}$. Все эйлеровские бесконечные числа, являются как раз элементами неархимедова поля $R^{*}_{D}$.
Другими словами на доказательства Эйлера можно смотреть двояко. Можно считать что это
глупости, а можно считать что и нет, просто доказательства неполные, потому что в то время
не было специальной техники, которая позволяет формализовать такие доказательства. Эта
техника появилась в законченном виде, уже только в конце XX века.

То что Эйлер "доказал" коротко и просто, формально оперируя с расходящимися рядами, обосновать на строгом математическом уровне, оказалось далеко не просто
Вот Вам еще один пример:
http://www.turpion.org/php/paper.phtml? ... er_id=1868
The correctness of Euler's method for the factorization of the sine function into an infinite product
Volume 43 (198
Number 4
Pages 65-94
V G Kanovei
Abstract
CONTENTS
Introduction
§ 1. Euler's method. The basic statements
§ 2. Non-standard analysis
§ 3. The derivation of Euler's factorizations using non-standard analysis
§ 4. Euler's construction in the system of non-standard analysis
§ 5. Factors and coefficients in Euler's construction
§ 6. A factorization that Euler did not want to complete
§ 7. The summation of infinitesimals
§ 8. Formal infinity as a mathematical object
§ 9. Representations of the exponential as a series and as a power
§ 10. Comparing the coefficients of non-standard polynomials
Conclusion
References

DOI 10.1070/RM1988v043n04ABEH001868
Citation V G Kanovei, "The correctness of Euler's method for the factorization of the sine function into an infinite product", RUSS MATH SURV, 1988, 43 (4), 65-94.
Full Text Download PDF file (1612 kB)

[AndAll]

Котофеич писал(а):

Во первых речь идет о сходящемся ряде 1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ • • •
который равен 1
1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ • • • =1
Во вторых в оригинальном эйлеровском "доказательстве" этого факта,
http://www.recercat.net/bitstream/2072/920/1/776.pdf
ключевую роль играет предположение, что существует некое вполне конкретное бесконечное число
H=1+1/2+1/3+.... +1/n+...Я думаю, что Вам ясно, что ничего подобного в строгом смысле не существует.

Только после просмотра статьи наконец стало ясно, о чем Вы говорите.
Ваши затруднения, позволю себе вульгарно предположить, в том, что Вы считаете, что х-х равно 0, если мы знаем значение х, и неопределенно, если мы его не знаем. Не буду с Вами спорить, в таких тонкостях не разбираюсь, к сожалению.
Кстати, спасибо за ссылку, очень интересная статья. Жаль, что «еще один пример» возможности посмотреть у меня нет.

Котофеич писал(а):

Настоящий математик, всегда знает правильный ответ, еще задолго до того как необходимые теоремы, строго доказаны. Это как раз и отличает его мышление от компьютерных вычислений.

Без сомнения, к Эйлеру это относится в первую очередь.

PS. По моему «любительскому» мнению, формулы Мертенса противоречат асимптотическому закону и могут оказаться неверными.

[juna]

Предлагаю книгу Варшамова в формате DjVu
Извиняюсь за некачественное изделие (оригинал скана был не очень)

AndAll писал(а):

По моему «любительскому» мнению, формулы Мертенса противоречат асимптотическому закону и могут оказаться неверными.

В математике мнения даже авторитетных людей иногда ничего не стоят, важны лишь доказательства, вот Мертенс привел свои доказательства.

[Котофеич]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

В математике мнения даже авторитетных людей иногда ничего не стоят, важны лишь доказательства, вот Мертенс привел свои доказательства.

Совершенно верно. Но доказать тоже мало, надо еще и разжевать хорошенько, накормить и подождать пока переварят. Иногда так называемые гении дают верную идею, тогда у них можно кой чего и скомунизьмить. В случае с Варшамовым придется разбираться долго...

AndAll писал(а):

Котофеич писал(а):

Во первых речь идет о сходящемся ряде 1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ • • •
который равен 1
1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+ • • • =1
Во вторых в оригинальном эйлеровском "доказательстве" этого факта,
http://www.recercat.net/bitstream/2072/920/1/776.pdf
ключевую роль играет предположение, что существует некое вполне конкретное бесконечное число
H=1+1/2+1/3+.... +1/n+... Я думаю, что Вам ясно, что ничего подобного в строгом смысле не существует.

Только после просмотра статьи наконец стало ясно, о чем Вы говорите..

Спасибо

AndAll писал(а):

Ваши затруднения, позволю себе вульгарно предположить, в том, что Вы считаете, что х-х равно 0, если мы знаем значение х, и неопределенно, если мы его не знаем. Не буду с Вами спорить, в таких тонкостях не разбираюсь, к сожалению.
Кстати, спасибо за ссылку, очень интересная статья. Жаль, что «еще один пример» возможности посмотреть у меня нет.

Ошибаетесь. У меня нет никаких затруднений. Затруднения были у Эйлера с определением числа H=1+1/2+1/3+.... +1/n+... или в компактной записи

$$H=\Sigma_{n=0}^{n<\omega} \left(\frac {1} {n} \right) $$

. Это число есть элемент неархимедова поля $R^{*}_{D}:$
$H \in R^{*}_{D}:$
Такие конструкции в те времена еще не были известны.

AndAll писал(а):

Котофеич писал(а):

Настоящий математик, всегда знает правильный ответ, еще задолго до того как необходимые теоремы, строго доказаны. Это как раз и отличает его мышление от компьютерных вычислений.

Без сомнения, к Эйлеру это относится в первую очередь.

Многие считают это дело спорным, однако не будем судить Эйлера строго. Ведь он жил
очень давно. Потом согласно теории академика Фоменко, никакого Эйлера никогда и не было.
Костей в могиле никто не обнаружил