2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение28.05.2007, 11:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Такой функции нет и не должно быть, ибо период степени числа не определяется периодом самого числа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2007, 20:24 


11/03/06
236
Хорошо. А как доказать, что для дробей вида 0,(А1А2...Аn)-такой зависимости нет?

И второй вопрос не забудте прокомментировать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 01:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Amigo
Рассмотрим несократимую дробь $\frac{m}{n}$, т.е. $m\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{N}$, $(m,n)=1$. Представим знаменатель в виде $n=2^\alpha5^\beta n_1$, где $\alpha\geqslant0$, $\beta\geqslant0$, $(n_1,10)=1$. Пусть $\tau$ --- наименьшее натуральное число такое, что $10^\tau\equiv1\pmod{n_1}$ (такое существует в силу того, что $(n_1,10)=1$; говорят, что $10$ принадлежит показателю $\tau$ по модулю $n_1$). Тогда длина периода числа $\frac mn$ в разложении в десятичную дробь будет равна этому $\tau$, а длина "предпериода" будет равна $\gamma=\max\{\alpha;\beta\}$, т.е. разложение будет иметь вид
$$\frac mn=a_0,a_1a_2\ldots a_\gamma(a_{\gamma+1}\ldots a_{\gamma+\tau}).$$

Замечание. Если отбросить условие $(m,n)=1$, то утверждение останется верным, т.е. дробь $m/n$ по-прежнему можно будет записать в таком виде, но при этом $\tau$ вовсе не обязано быть длиной минимального периода (но в любом случае будет делиться на неё; этот случай может иметь место, когда $(m,n_1)>1$), и длина предпериода может быть меньше $\gamma$ (этот случай возможен, лишь когда $(m,10)>1$).

Добавлено спустя 47 минут 55 секунд:

Посмотрим, например, что это даёт для степени рационального числа $\left(\frac mn\right)^k$. Без потери общности можно считать, что $\alpha=\beta=0$, т.е. $n=n_1$. Разложим $n$ в произведение простых сомножителей
$$n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_s^{\alpha_s},\ \alpha_j\geqslant1.$$
Представим $10^\tau-1$ в виде
$$10^\tau-1=p_1^{\beta_1}\ldots p_s^{\beta_s}A,\quad (A,n)=1.$$
Обозначим
$$N:=p_1^{\beta_1}\ldots p_s^{\beta_s}.$$
Вопрос о том, чему равен показатель $\tau_1$ числа $10$ по модулю $N_1=p_1^{\gamma_1}\ldots p_s^{\gamma_s}$, $\gamma_j\geqslant\alpha_j$, решается следующим образом.
$$\tau_1=\tau\cdot\frac{[N_1,N]}N,$$
где $[N,N_1]$ --- наим. общее кратное чисел $N$ и $N_1$.
Если теперь взять $N_1=n^k$, то при достаточно большом $k$ (а именно: если при всех $j$ будет выполняться $k\alpha_j\geqslant\beta_j$) длина периода дроби $\left(\frac mn\right)^k$ будет равна
$$\tau\cdot\frac{n^k}N.$$
В частности, если взять $n=10^\tau-1$, то длина периода числа $1/n$ будет равна $\tau$, а длина периода числа $1/n^2$ будет равна $\tau n=\tau(10^\tau-1)$. :shock:

P.S. Поэтому и не проглядывается период у дроби $4/49$: его длина равна $42$ (и дробь чисто периодическая, т.е. без предпериода).

Добавлено спустя 35 минут 56 секунд:

P.P.S. Опять же, отсюда легко получить способ извлечения корня.
Для простоты ограничусь случаем, когда $\frac mn\in(0;1)$ и
$$\left(\frac mn\right)^k=0,(b_1\ldots b_T)$$
(просто, чтобы писанины было поменьше.)
Тогда утверждается, что дробь $m/n$ можно записать в виде
$$\frac mn=0,(a_1\ldots a_T),$$
при этом $T$ не обязано быть минимальным периодом, но в любом случае оно делится на период дроби $m/n$. Поэтому достаточно посчитать лишь первые $T$ цифр числа $m/n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group