Amigo
Рассмотрим несократимую дробь

, т.е.

,

,

. Представим знаменатель в виде

, где

,

,

. Пусть

наименьшее натуральное число такое, что

(такое существует в силу того, что

; говорят, что

принадлежит показателю

по модулю

). Тогда длина периода числа

в разложении в десятичную дробь будет равна этому

, а длина "предпериода" будет равна

, т.е. разложение будет иметь вид
Замечание. Если отбросить условие

, то утверждение останется верным, т.е. дробь

по-прежнему можно будет записать в таком виде, но при этом

вовсе не обязано быть длиной минимального периода (но в любом случае будет делиться на неё; этот случай может иметь место, когда

), и длина предпериода может быть меньше

(этот случай возможен, лишь когда

).
Добавлено спустя 47 минут 55 секунд:
Посмотрим, например, что это даёт для степени рационального числа

. Без потери общности можно считать, что

, т.е.

. Разложим

в произведение простых сомножителей
Представим

в виде
Обозначим
Вопрос о том, чему равен показатель

числа

по модулю

,

, решается следующим образом.
где

наим. общее кратное чисел

и

.
Если теперь взять

, то при достаточно большом

(а именно: если при всех

будет выполняться

) длина периода дроби

будет равна
В частности, если взять

, то длина периода числа

будет равна

, а длина периода числа

будет равна

.
P.S. Поэтому и не проглядывается период у дроби

: его длина равна

(и дробь чисто периодическая, т.е. без предпериода).
Добавлено спустя 35 минут 56 секунд:
P.P.S. Опять же, отсюда легко получить способ извлечения корня.
Для простоты ограничусь случаем, когда

и
(просто, чтобы писанины было поменьше.)
Тогда утверждается, что дробь

можно записать в виде
при этом

не обязано быть минимальным периодом, но в любом случае оно делится на период дроби

. Поэтому достаточно посчитать лишь первые

цифр числа

.