Подмножество.

[_20_]

Множество $H$ называется подпространством линейного пространства $V$, если оно замкнуто относительно операций сложения и умножения. Подобное определение дано во многих книгах. Полное ли оно? Для того, чтобы множество называлось лиейным пространством, необходимо существования обратного и нулевого элементов. Но из пространства можно выбрать подмножество, не содержащее в себе нулевой элемент. Будет ли это подмножество подпространством?

[gris]

Проверьте, будет ли оно замкнуто относительно операций сложения и умножения. Только не просто "умножения", мы же рассматриваем не кольца, а линейные пространства.

[_20_]

Допустим множество - множество всех целых чисел. Множество всех чётных чисел очевидно является его подмножеством, замкнуто $2a+2b=2c$ и не содержит в себе 0.

[gris]

А ноль разве не чётное число?
Кроме того, надо бы уточнить, над каким полем Вы рассматриваете множество целых чисел как линейное пространство? А то вдруг Вы просто так?

[_20_]

gris в сообщении #675337 писал(а):

над каким полем

Над полем действительных чисел.

gris в сообщении #675337 писал(а):

А ноль разве не чётное число?

Нет. Во всяком случае, не об этом дискуссия и если Вы считаете 0 чётным числом, то множество $H$ определяется, как множество всех целых чисел, кроме нуля.

[gris]

Множество целых чисел с операцией обычного сложения и обычного умножения на целые числа можно рассматривать как модуль над самим собой. В этом случае подмножество всех чисел, кратным какому-то натуральному числу будет подмодулем и разумеется будет содержать ноль.
Но как же Вы рассматриваете множество целых чисел с обычным сложением как линейное пространство над полем действительных чисел, если, например, $\pi$ не целое число?
Да и насчёт чётности нуля у меня есть сомнения. В смысле нет сомнений.
Если Вы ведёте разговор с позиций общей алгебры, но надо каждый раз указывать все операции. А Ваше $H$ не замкнуто относительно даже операции сложения, ибо $2+(-2)=0$.

И, мне кажется, Вы всё ещё продолжаете считать "умножение" умножением целых чисел, которое и не надо учитывать, тогда как должны рассматривать умножение на элементы поля.

[apriv]

_20_ в сообщении #675350 писал(а):

Нет. Во всяком случае, не об этом дискуссия и если Вы считаете 0 чётным числом, то множество $H$ определяется, как множество всех целых чисел, кроме нуля.

Интересно, какое же определение «четного числа» Вы имеете в виду. Но дискуссия действительно не об этом: если Вы считаете, что целые числа образуют пространство над полем действительных чисел, неплохо бы уточнить, какая же операция умножения на скаляр имеется в виду.

[_20_]

Я не знаком с понятием модуля и только слышал о топологии. Но читал про теорию групп. Сейчас начал линейную алгебру, первая тема - линейные пространства. Читая учебник, мне показалось подозрительным отсутствие требования нулевого элемента и обратных элеметов, о чём я и спрашиваю. Отвечая, Вы требуете от меня знаний, которыми я не обладаю. Объясните, пожалуйста, без загадок, каким образом из замкнутости следует обязательное наличие обратного и нулевого элементов, мне это не очевидно. Мы можем взять за множество $H$ только множество всех целых положительных чисел, кроме нуля. Тогда оно будет замкнуто? Будет ли оно подпространством?

[gris]

_20_ в сообщении #675366 писал(а):

множество всех целых положительных чисел, кроме нуля.

Надо ли полагать, что Вы считаете ноль не только нечётным, но и положительным числом?

[_20_]

gris в сообщении #675374 писал(а):

Надо ли полагать, что Вы считаете ноль не только нечётным, но и положительным числом?

_20_ в сообщении #675350 писал(а):

не об этом дискуссия

[gris]

Тогда процитирую себя.

gris в сообщении #675356 писал(а):

Но как же Вы рассматриваете множество целых чисел с обычным сложением как линейное пространство над полем действительных чисел, если, например, $\pi$ не целое число?
Если Вы ведёте разговор с позиций общей алгебры, но надо каждый раз указывать все операции.
И, мне кажется, Вы всё ещё продолжаете считать "умножение" умножением целых чисел, которое и не надо учитывать, тогда как должны рассматривать умножение на элементы поля.

и

apriv в сообщении #675360 писал(а):

если Вы считаете, что целые числа образуют пространство над полем действительных чисел, неплохо бы уточнить, какая же операция умножения на скаляр имеется в виду.

[_20_]

Вы ищите мои ошибки в рассуждении. Пусть будет поле рациональных чисел, над которым есть множество $V$ рациональных чисел, которое образует пространство. Выберем из него множество $H$ - множество всех целых положительных чисел, как подмножество $V$.
На $H$ определенны обычные операции сложения и умножения. Также множество $H$ замкнуто относительно этих операций, то есть сложение или умножение двух элементов этого множества будет элементом этого множества.
Вопрос в том, будет ли $H$ подпространством пространства $V$?

[gris]

Ещё раз повторяю. Никого не интересуют операции в $V$, кроме сложения. Их там может быть хоть восемь.
В разговоре о $V$ как о векторном пространстве нас интересует ровно одна, называемая сложением, относительно которой $V$ будет абелевой группой и ещё "операция" умножения на скаляр из поля, над которым рассматривается $V$. Даже если это одинаковые множества, с точки зрения определения нашего векторного пространства они разные.
Подпространство $H$ должно быть замкнуто относительно операции сложения в нём самом и замкнуто относительно операции умножения на любой элемент поля, то есть в нашем случае умножение на любое рациональное число, а не только принадлежащее $H$.
$2\cdot \dfrac13= \dfrac23\notin H$, поэтому $H$ не замкнуто относительно операции умножения на скаляр, если она определена как обычное умножение.

[_20_]

gris в сообщении #675376 писал(а):

тогда как должны рассматривать умножение на элементы поля

То есть, должна быть определена операция умножения элемента множества на элемент поля? А элементом поля являются и отицательные числа тоже, значит множество не замкнуто относительно операции умножения, я Вас правильно понял?

[gris]

Да, правильно. Поле может быть разным, кстати, но если Вы говорите о поле действительных чисел в курсе линейной алгебры, то по умолчанию операции понимаются обычными арифметическими сложением и умножением.