Внешняя сторона кривой.

[kopern1k]

Здравствуйте, дорогие друзья.

Имеется замкнутая плоская гладкая кривая и центр системы координат, лежащий внутри замкнутого контура. Чем определяется направление нормали к точке кривой во внешнюю сторону контура?
Например, уравнение нормали имеется, надо определить точку, лежащую на нормали на определенном расстоянии от нее во внешней стороне контура. Если подставить уравнение расстояния в уравнение нормали, то получим выражение для двух точек, одна во внешней стороне, другая во внутренней. Мне непонятно как внешняя сторона "влияет" на знак в этом выражении. Пытался определить зависимость знака от угла касательной к кривой, но не всегда верно получается, чего-то не хватает. Если есть какая-то литература по этому вопросу -- буду прзнателен.


Заранее спасибо.

[gris]

Вряд ли это можно сделать в общем случае. Ведь к любому участку кривой можно приделать гладкое продолжение так, что внутренняя сторона станет внешней. Разве что для конкретных кривых и уравнений. Или, например, для границ строго выпуклых фигур.

[Алексей К.]

Я думаю, что речь идёт о дико правильной кривой, без самопересечений. И тогда всё это можно затестить на окружности $F(x,y)\equiv \pm(x^2+y^2-R^2)=0$.
Если $F(0,0)<0$, то наружу смотрит нормаль $(F'_x,F'_y)$.
Если $F(0,0)>0$, то наружу смотрит нормаль $(-F'_x,-F'_y)$.

kopern1k в сообщении #675043 писал(а):

Если подставить уравнение расстояния в уравнение нормали, то получим выражение для двух точек,

Поищите более правильные слова, не сильно понятно.

Поначалу я предположил, что Вы возитесь с неявно заданной кривой.
Теперь кажется, что возитесь с параметрической кривой и хотите получить уравнение эквидистанты.
Тогда я бы отвечал как-то по-другому.

[kopern1k]

Кривая задается параметрически:
$x = r(t)\sin t = \varphi (t)$
$y = r(t)\cos t = \psi (t)$, $t \in [0,2\pi]$

Кривая получается гладкая без самопересечений. Здесь верхняя половинка кривой.


Необходимо определить координаты точки $M$, лежащей на нормали на расстоянии $a$ от кривой во внешней стороне.
Составляю уравнение нормали в точке $t$:
$y = \psi (t) - \frac{\varphi '(t)}{\psi '(t)}(x-\varphi (t))$
Расстояние до точки:
$(x_M-\varphi (t))^2 + (y_M - \psi (t))^2 = a^2$
Подставляю одно в другое и получаю следующие координаты:
$x_M = \varphi (t) \pm a\frac{\psi '(t)}{\sqrt{\psi '^2(t) + \varphi '^2(t)}}$
$y_M = \psi (t) \mp a\frac{\varphi '(t)}{\sqrt{\psi '^2(t) + \varphi '^2(t)}}$

Как выбирать знак, чтобы точка всегда была во внешней стороне кривой (т.е. слева от кривой на картинке; если была бы еще и нижняя половинка, то от нее с правой стороны)? Т.е. другими словами, от чего зависит знак в выражениях?

[Алексей К.]

kopern1k в сообщении #675152 писал(а):

Кривая задается параметрически:
$x = r(t)\sin t = \varphi (t)$
$y = r(t)\cos t = \psi (t)$, $t \in [0,2\pi]$

Вы просто перепутали местами синус и косинус? Зачем такое отклонение от привычной формы полярного уравнения?

Это пока ответ не по существу. Завтра отвечу.
Для меня всегда обычно кривая была границей материала и воздуха. Параметризацию я выбирал так, чтобы при движении вдоль границы ($t$ возрастает) материал детали оставался слева. Соответственно, монетку я обходил в направлении возрастания полярного угла, а отверстие в детали --- наоборот. Аналогично и с другими формами, в т.ч., например, квадратиками. Нормалью я сам для себя считал то направление, в котором я давлю пальцем на деталь. Выяснил раз и навсегда, какой для этого нужен знак, куда-то записал, и всегда (пока имел с этим дело) пользовался.
Вроде и вывести просто, но поздно, поищу готовенькое завтра.

-- 23 янв 2013, 00:27:44 --

Соответственно, чтобы обточить контур (срезать материал фрезой эквидистантно), я брал положительное $a$ в этом моём направлении пальца, а чтобы "нарастить" --- отрицательное.

[kopern1k]

Цитата:

Вы просто перепутали местами синус и косинус? Зачем такое отклонение от привычной формы полярного уравнения?

Синус и косинус не перепутал, угол по-другому отчитывался изначально, не знаю почему, но это не так уж и важно, по-моему.

[Алексей К.]

Это действительно не так важно, просто непривычно.

А откладывать на завтра вроде и нечего, всё просто.
У Вас вектор касательной к кривой, направленный именно вдоль обхода по возрастанию параметра, есть

$$(\cos\tau,\sin\tau)=\left(\frac{x'_t}{\sqrt{{x'_t}^2+{y'_t}^2}},\frac{y'_t}{\sqrt{{x'_t}^2+{y'_t}^2}}\right).$$

Тогда нормаль, направленная влево от кривой, есть

$$\left(\cos(\tau+90^\circ),\sin(\tau+90^\circ)\right)=(-\sin\tau,\cos\tau)=\left(-\frac{y'_t}{\sqrt{{y'_t}^2+{y'_t}^2}},\frac{x'_t}{\sqrt{{x'_t}^2+{y'_t}^2}}\right)$$

(прибавьте к тау положительное число, не сильно большое, гляньте на новый вектор, увидьте, что отклоняемся ВЛЕВО; прибавьте отрицательное, ...).
А нормаль вправо определяется углом $\tau-90^\circ$.
Дело за Вами --- определиться: "внешняя сторона кривой" --- это то, что слева, или то, что справа?

Я понятно объяснил?

-- 23 янв 2013, 00:59:27 --

У Вас, при такой параметризации, неполярной (угол считается от 12 часов и ПО часовой стрелке) внешняя сторона --- это, похоже, слева.

[kopern1k]

Объяснили понятно, но у меня нет полной уверенности. Следует ли из Ваших формул, что при обходе по часовой стелке от $[0,2\pi]$ координаты точки будут:

$(x_M,y_M) = \left(x-a\frac{y'_t}{\sqrt{x'^2_t+y'^2_t}}, y+a\frac{x'_t}{\sqrt{x'^2_t+y'^2_t}}\right)$,

то есть при $x_M$ будет минус, а при $y_M$ -- плюс?

[Алексей К.]

..., где $a\ge 0.$

kopern1k в сообщении #675275 писал(а):

Объяснили понятно, но у меня нет полной уверенности.

Где же я всё же прокололся, недообъяснил до полной уверенности

kopern1k в сообщении #675275 писал(а):

Следует ли из Ваших формул

Следует.

Повотрю: мои рассуждения касались понятий "лево-право". Перевод их в понятия "внешний-внутренний" --- вопрос конкретного случая.

[kopern1k]

Вроде бы все. Литературу посоветуете?

[Алексей К.]

Я --- нет, не посоветую.
И вовсе не потому, что жадный

Я привлекал знания (которыми и Вы, судя по всему, располагаете) из обычных учебников-справочников по дифференциальной геометрии (а лево-право выучил на военной кафедре).
Как бы на то они нам и были даны, чтоб при возникновении очередного прыщика разобраться с ним.
На каждую мелочь не налитературишься.

[kopern1k]

Anyway, спасибо.