Помогите решить рекуррентное уравнение

[nicon]

$a_0 = 1, a_n = a_{n-1} + 2n^2 ,при n>0 $

[alcoholist]

nicon
окружайте формулы дензнаками

nicon в сообщении #674861 писал(а):

$a_0 = 1$, $a_n = a_{n-1} + 2n^2$ при $n>0$

-- Вт янв 22, 2013 10:14:59 --

$$ a_n-1=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i-1})=? $$

[Leox]

$a_n$, очевидно, многочлен третьей степени от $n.$ Его вид можно найти, например, методом неопределенных кеоффициентов.

[SpBTimes]

Нет, ну зачем так.
$a_n - a_{n - 1} = n^2$
Написать такую стопку равенств до $a_2 - a_1 = 2^3$, а потом все сложить.

[Cash]

И получить многочлен третьей степени от $n$, который находится методом неопределенных коэффициентов

[nicon]

Решите пожалуйста, с подробным решением.

[ИСН]

Зачем?

[Arcanine]

$a_{n}=a_{n-1}+2{n}^{2},\ a_{n}-a_{n-1}=2{n}^{2};
a_{1}-a_{0}=2\cdot {1}^{2},$
$a_{2}-a_{1}=2\cdot {2}^{2},$
...
$a_{n-1}-a_{n-2}=2\cdot {(n-1)}^{2}$
$a_{n}-a_{n-1}=2\cdot {n}^{2}.$
Теперь складываем:
$a_{n}-a_{0}=2({1}^{2}+{2}^{2}+...+{n}^{2})=...$

[matidiot]

Arcanine в сообщении #675327 писал(а):

$a_{n}=a_{n-1}+2{n}^{2},\ a_{n}-a_{n-1}=2{n}^{2};
a_{1}-a_{0}=2\cdot {1}^{2},$
$a_{2}-a_{1}=2\cdot {2}^{2},$
...
$a_{n-1}-a_{n-2}=2\cdot {(n-1)}^{2}$
$a_{n}-a_{n-1}=2\cdot {n}^{2}.$
Теперь складываем:
$a_{n}-a_{0}=2({1}^{2}+{2}^{2}+...+{n}^{2})=...$

Вернулись к начальному условию задачи

-- 23.01.2013, 14:54 --

Рассмотрим $a(n)=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$, тогда $a(1)+a(2)+...+a(n)=(n+1)^3-1$, но сумма слева это $3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n\cdot 1$, откуда и найдем выражение для искомой суммы: $1^2+2^2+...+n^2$

[Arcanine]

Цитата:

Вернулись к начальному условию задачи

matidiot, просто уточнил.