Это единичная сфера

. Из аксиом нормы легко следует, что сфера есть ограниченное и замкнутое множество относительно той нормы, которой эта сфера порождена. И так же легко доказывается непрерывность любой вообще нормы

относительно

(относительно

тоже доказывается, конечно, но относительно равномерной немного проще).
Так вот, теперь по теореме Вейерштрасса

для всех

, причём

(поскольку это значение хоть в какой-то точке и хоть какой-то сферы, да достигается). А это равносильно тому, что

для всех вообще

.