эквивалентность норм

[MissEwy]

Надо доказать что в Евклидовом пространстве $E^n$ любая норма $n(x)$ эквивалента нормы
$||x||_1 = \sum_{k=1}^n |x_k| $.
Я доказала что
$ n(x) \leqslant b \cdot ||x||_1 $
но как доказать первую часть неравенстве $ a \cdot ||x||_1 \leqslant n(x) $ ?

[ewert]

Следует из теоремы Вейерштрасса о том, что функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на нём своих минимума и максимума. Только лучше доказывать эквивалентность всех норм не норме $\|\cdot\|_1$, а норме $\|\cdot\|_{\infty}$ -- относительно неё проще доказывать саму теорему Вейерштрасса (да и вообще она проще).

[MissEwy]

ewert в сообщении #674567 писал(а):

Следует из теоремы Вейерштрасса о том, что функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на нём своих минимума и максимума. Только лучше доказывать эквивалентность всех норм не норме $\|\cdot\|_1$, а норме $\|\cdot\|_{\infty}$ -- относительно неё проще доказывать саму теорему Вейерштрасса (да и вообще она проще).

а что у меня получается замкнутое ограниченное множество? $x$ же есть любой..

[ewert]

Это единичная сфера $S=\{\vec x:\;\|\vec x\|_{\infty}=1\}$. Из аксиом нормы легко следует, что сфера есть ограниченное и замкнутое множество относительно той нормы, которой эта сфера порождена. И так же легко доказывается непрерывность любой вообще нормы $\|\cdot\|_{\alpha}$ относительно $\|\cdot\|_{\infty}$ (относительно $\|\cdot\|_1$ тоже доказывается, конечно, но относительно равномерной немного проще).

Так вот, теперь по теореме Вейерштрасса $C_1\leqslant\|\vec x\|_{\alpha}\leqslant C_2$ для всех $\vec x\in S$, причём $C_1>0$ (поскольку это значение хоть в какой-то точке и хоть какой-то сферы, да достигается). А это равносильно тому, что $C_1\|\vec x\|_{\infty}\leqslant\|\vec x\|_{\alpha}\leqslant C_2\|\vec x\|_{\infty}$ для всех вообще $\vec x$.