К какому роду отнести подобный разрыв?

[Zeekless]

Здравствуйте!

Допустим, функция определена для всех $x$ \in [0;+\inf)$ и непрерывна для всех $x \in (0; +\inf)$. Например, задана таким образом:

$$ f(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x=0$;}\\ 1,&\text{если $x>0$;} \end{cases} $$

Очевидно, в точке $x=0$ такая функция терпит разрыв. Вопрос: какого рода разрыв?
С одной стороны, на лицо "скачок": в двух "соседних" точках значение функции отличается на конечное значение, а в остальных точках из ООФ она непрерывна.

С другой стороны, левосторонний предел для $x=0$ не существует, т.к. функция не определена для $x<0$, а значит мы имеем дело с разрывом второго рода (по определению последнего).

Помогите, пожалуйста, прояснить этот вопрос.

[SpBTimes]

Левосторонний предел даже нельзя рассматривать, т.к. там функция попросту не определена. Поэтому исследуя на одностороннюю непрерывность, вы получаете скачок

[Zeekless]

В случае существования пределов с обеих сторон я бы сравнил эти пределы, заметил бы, что они конечны и не совпадают, и заключил бы, что мой разрыв - первого рода.
При этом, мне бы не понадобилось вычислять непосредственное значение функции в точке разрыва - это значение не входит в определение разрыва первого рода.

А каков образец рассуждения в данном случае?
Если он содержит вычисление значения функции в точке разрыва, правомерно ли относить такой разрыв к первому роду?

[SpBTimes]

Zeekless в сообщении #674202 писал(а):

А каков образец рассуждения в данном случае?
Если он содержит вычисление значения функции в точке разрыва, правомерно ли относить такой разрыв к первому роду?

Образец написан. А насчет значения - вычисление значения функции в точке необходимо для определения непрерывности/разрыва

[Zeekless]

Спасибо большое.

[Munin]

Бесконечность пишется не \inf, а \infty: $\infty.$ А $\inf$ - это инфимум.