Определитель

[mihailm]

freedom_of_heart в сообщении #674154 писал(а):

Входит ли в определитель $x_{15}x_{52}x_{35}x_{23}x_{66}x_{41}$? ...

Нарисуйте матрицу 6-го порядка и отметьте там эти сомножители

[alcoholist]

freedom_of_heart в сообщении #674240 писал(а):

А что такое $x_{1\sigma(1)}$ -- вот это бы понять

$\sigma:\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}$ -- обратимое отображение (все такие отображения и образуют группу перестановок $S_n$)

[freedom_of_heart]

перестановка —упорядоченный набор чисел $1, 2,\ldots, n$ обычно трактуемый как биекция на множестве $\{ 1, 2,\ldots, n \}$, которая числу $i$ ставит соответствие $i$-й элемент из набора. Число $n$ при этом называется порядком перестановки.

-- Вс янв 20, 2013 20:36:27 --

ewert в сообщении #674244 писал(а):

Нет. Речь идёт о том, образует ли перестановку набор первых индексов и независимо от них (пока что) набор вторых индексов. Что такое вообще перестановка?...

Тогда образует перестановку и набор первых индексов, и второй

-- Вс янв 20, 2013 20:37:53 --

mihailm в сообщении #674248 писал(а):

Нарисуйте матрицу 6-го порядка и отметьте там эти сомножители

[alcoholist]

freedom_of_heart в сообщении #674254 писал(а):

Тогда образует перестановку и набор первых индексов, и второй

вторые индексы -- перестановка первых))) $x_{i\sigma(i)}$ -- номер и его перестановка

-- Вс янв 20, 2013 19:43:00 --

freedom_of_heart в сообщении #674254 писал(а):

и второй

в данном конкретном случае второй набор $\{5,3,5,1,4,6\}$ нифига не образует

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #674254 писал(а):

Тогда образует перестановку и набор первых индексов, и второй

Точно и первый, и второй?...

Гляньте на свою же картинку.

[freedom_of_heart]

alcoholist в сообщении #674259 писал(а):

в данном конкретном случае второй набор $\{5,3,5,1,4,6\}$ нифига не образует

Ой, точно, пятерка повторяется дважды, а этого быть не должно, это все невнимательность моя...

-- Вс янв 20, 2013 20:51:29 --

Ну ок, набор вторых индексов не образует перестановку, а как тогда дальше?

[alcoholist]

alcoholist в сообщении #674169 писал(а):

$$ \det X=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{|\sigma|}\prod_{i=1}^nx_{i\sigma(i)} $$

там других слагаемых нет

[freedom_of_heart]

alcoholist в сообщении #674279 писал(а):

там других слагаемых нет

То есть у нас вторые индексы не образуют перестановку, значит данное произведение не входит в определитель? Или есть шанс воспользоваться перестановочностью первого индекса, написав вот так?

$$ \det X=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{|\sigma|}\prod_{i=1}^nx_{\sigma(i)\cdot i} $$

[alcoholist]

freedom_of_heart в сообщении #674293 писал(а):

То есть у нас вторые индексы не образуют перестановку, значит данное произведение не входит в определитель?

да, этого достаточно

freedom_of_heart в сообщении #674293 писал(а):

$$ \sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{|\sigma|}\prod_{i=1}^nx_{\sigma(i)\cdot i}$$

Это что за УМНОЖЕНИЕ индексов????

-- Вс янв 20, 2013 21:18:21 --

freedom_of_heart в сообщении #674293 писал(а):

$$ \sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{|\sigma|}\prod_{i=1}^nx_{\sigma(i) i}=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{|\sigma|}\prod_{i=1}^nx_{i\sigma(i)} $$

означает лишь то, что определитель не изменяется при транспонировании матрицы

[freedom_of_heart]

Умножение, чтобы чуть места отступить после скобки...

Спасибо, ясно...

[alcoholist]

freedom_of_heart в сообщении #674304 писал(а):

Умножение, чтобы чуть места отступить после скобки...

в этом случае запятую обычно ставят: $x_{123,45}$

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #674293 писал(а):

То есть у нас вторые индексы не образуют перестановку, значит данное произведение не входит в определитель?

Вообще-то очень полезно запомнить заклинание, иллюстрирующее ту формулу: "В сумму входят произведения элементов, входящих ровно по одному в каждый столбец и в каждую строку". Ну а чётности/нечётности перестановок -- это уж потом.

[alcoholist]

ewert в сообщении #674314 писал(а):

"В сумму входят произведения элементов, входящих ровно по одному в каждый столбец и в каждую строку"

золотое правило... суть метода Гаусса)))

[ewert]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #674335 писал(а):

суть метода Гаусса)))

Ну только Гаусс-то тут при чём. Это альтернативно -- или гауссы, или миноры.

[freedom_of_heart]

А реально ли через миноры было сделать? Нам нужно попробовать выделить $x_{15}x_{52}x_{35}x_{23}x_{66}x_{41}$



Если начать раскладывать по последнему столбцу, то нам лишь интересен элемент последней строки и его алгебраическое дополнение:

$(-1)^{6+6}x_{66}M_{66}=x_{66}M_{66}$

Теперь разложим по первой строке $M_{66}$, нам интересно лишь $(-1)^{1+5}x_{15}M_{15}^{*}=x_{15}M_{15}^{*}$ (где $*$ для того, чтобы обозначить, что $6$ столбец и $6$ строка отсутствуют).

$M_{15}^{*}=\begin{vmatrix} x_{21}&x_{22}&x_{23}&x_{24} \\ x_{31}&x_{32}&x_{33}&x_{34} \\ x_{41}&x_{42}&x_{43}&x_{44} \\ x_{51}&x_{52}&x_{53}&x_{54} \end{vmatrix} $

Разложим по 1 строке получившийся минор. На этот раз нужен элемент $x_{23}$ и его алгебраическое дополнение $(-1)^{2+3}M_{23}^{**}$:

$M_{23}^{**}=\begin{vmatrix} x_{31}&x_{32}&x_{34} \\ x_{41}&x_{42}&x_{44} \\ x_{51}&x_{52}&x_{54} \end{vmatrix}$

Разложим по 1 столбцу получившийся минор. На этот раз нужен элемент $x_{41}$ и его алгебраическое дополнение $(-1)^{4+1}M_{41}^{+}$:

$M_{41}^{+}=\begin{vmatrix} x_{32}&x_{34} \\ x_{52}&x_{54} \end{vmatrix}=x_{32}x_{54}-x_{34}x_{52}$

Итак, если разворачивать с конца

$-x_{34}x_{52}$

$(-1)^{4+1}(-1)x_{34}x_{52}x_{41}$

$(-1)^{4+1}(-1)^{2+3}(-1)x_{34}x_{52}x_{41}x_{23}$

$(-1)^{4+1}(-1)^{2+3}(-1)^{1+5}(-1)x_{34}x_{52}x_{41}x_{23}x_{15}$

$(-1)^{4+1}(-1)^{2+3}(-1)^{1+5}(-1)^{6+6}(-1)x_{34}x_{52}x_{41}x_{23}x_{15}x_{66}$

А в условии было $x_{15}x_{52}x_{35}x_{23}x_{66}x_{41}$, то есть немного не то. Можно ли из этого сделать вывод, что нет такого элемента?