Цитата:
g______d:
"Операторный ряд Маклорена" --- это очень плохой объект. См. ниже.
Кстати говоря, как Вы уравнения Эйлера получили?
Под "локальностью" я понимаю следующее: чтобы знать плотность лагранжиана в данной точке, достаточно знать функцию в сколь угодно малой окрестности этой точки. Это довольно разумное физическое требование. Ему удовлетворяют все существующие лагранжианы. Если мне не изменяет память, операторы типа
такому свойству не удовлетворяют (несмотря на то, что формально достаточно знать все производные в данной точке, этот "ряд Маклорена" не будет сходиться вообще ни к чему осмысленному).
В любом случае, лагранжиан, зависящий от бесконечного числа производных --- это объект, для введения которого нужны очень серьезные основания.
Господин g______d, благодарю за серьезную критику моей статьи.
Начну с того, что я оговорился в сообщении, назвав предложенный операторный ряд рядом Маклорена. Его следует определить, как ряд на основе произведений операторов лапласа, число которых в каждом члене отвечает его номеру n (n=0, 1, 2, 3,...), с коэффициентами разложения в степенной ряд радикала
.
Далее перепутан знак перед оператором лапласа под радикалом. Исходя из уравнения (1а), надо записать
Соответственно для ряда, отвечающего радикалу получается выражение ряд
При разложении в ряд возникает упущенная мною проблема сходимости при его использовании. Можно понять, что сходимость результата, получаемого на основе операторного ряда к выражению
имеет место лишь при
то есть при относительно малой скорости электрона. При всем этом я остаюсь убежденным, что знак частоты осцилляции решения уравнения Клейна-Гордона (1) определяет, знак заряда частицы. При этом произвольное решение данного уравнения можно разделить на две части по знаку частоты путем его математического анализа.
Для доказательства справедливости уравнений (2) достаточно указанного в статье 9 анализа с использованием спектральных составляющих решения уравнения (1а), которые удовлетворяют либо решению уравнению (2+) для основной частицы, либо решению подобного уравнения (2-) для античастицы. То же справедливо и для линейных комбинаций множества спектральных составляющих с единым знаком частоты осцилляции.
Полезно также принять во внимание равенство оператора исходного уравнения (1а) и произведение операторов уравнений (2). Речь идет о соотношении
Справедливость этого соотношения можно проверить, перемножая внутрискобочные операторы и переходя от произведения операторных радикалов к произведению операторных рядов. При этом часть членов компенсируется, в частности, все члены произведения рядов, за исключением двух первых, в результате чего получается необходимый оператор уравнения Клейна-Гордона. Операторы уравнений (2) можно было бы поставить в обратном порядке, от этого результат не изменился бы.
Рассматриваемые уравнения (2) можно с некоторыми трудностями получить из предложенного лагранжиана с подкорректированными радикалами. Но лучше с лагранжианами данных уравнений не связываться вообще. При этом надо учесть, что для решений уравнений (2), являющихся. одновременно решениями уравнений (1, 1а), справедливы выражения для векторов и тензоров динамических переменных уравнения (1). Это замечание справедливо, в частности, для вектора плотности электрического тока и тензора энергии импульса, формулы которых приведены в статье 9. Из указанных выражений делается вывод о смене знака плотности заряда частицы и постоянстве положительного знака плотности энергии при смене знака частоты осцилляции функции.
Что же касается вопроса о локальности или нелокальности предложенных операторов, то я не усмотрел убедительности в Ваших доводах. Все частные производные рассматриваются для одной и той же пространственной точки и единого момента времени. Ряд радикала сходится при достаточно малых значениях лапласиана, а именно, когда кинетическая энергия частицы не превышает ее энергию покоя.
С уважением О.Львов