Вычислить предел

[Ktina]

Доказать, что

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^n}{(n!)^2}=0$$

Интуитивно понятно, что там нуль.
Имею набросок док-ва.
Квадрат факториала можно представить в виде метапроизведения (произведения произведений):

$$(n!)^2=(1\cdot n)(2\cdot (n-1))(3\cdot (n-2))\dots ((n-2)\cdot 3)((n-1)\cdot 2)(n\cdot 1)$$

Каждое из получившихся произведений не меньше $n$, при этом одно из этих произведений не меньше $\frac{n^2}{4}$.
Таким образом, $(n!)^2\ge n^n\cdot \frac{n}{4}$
А так как $\frac{n}{4}$ является бесконечно большой величиной...
Корректно ли такое док-во?

Источник задачи (2-й курс, зад. 4).

[ewert]

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\cdot\dfrac{n}{(n+1)^2}\to0\ \Rightarrow\ a_n\to0.$

И так всегда, когда заранее ясно, что общий член убывает быстрее геометрической прогрессии.

[Ktina]

ewert, спасибо!

[ex-math]

Ktina
Ваше доказательство корректно и очень красиво, более того, эта идея находит применение еще кое-где.
Но прием ewertа тоже полезно усвоить.

[cool.phenon]

Можно еще воспользоваться формулой Стирлинга :

$\sqrt{2\pi n}{{\left( \frac{n}{e} \right)}^{n}}\sim n!(n \to \infty)$

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{n}}}{{{\left( n! \right)}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{n}}}{n!\sqrt{2\pi n}{{\left( \frac{n}{e} \right)}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{n}}}{n!\sqrt{2\pi n}}$

А предел $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{n}}}{n!}=0$. Значит, исходный тоже равен нулю.

[Ktina]

ex-math в сообщении #673817 писал(а):

...эта идея находит применение еще кое-где...

Где?

[ex-math]

В доказательстве одного из неравенств Чебышева в теории чисел. Этот прием применяет Нестеренко в одной из своих книг.