2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить предел
Сообщение19.01.2013, 15:48 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Доказать, что $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^n}{(n!)^2}=0$$
Интуитивно понятно, что там нуль.
Имею набросок док-ва.
Квадрат факториала можно представить в виде метапроизведения (произведения произведений): $$(n!)^2=(1\cdot n)(2\cdot (n-1))(3\cdot (n-2))\dots ((n-2)\cdot 3)((n-1)\cdot 2)(n\cdot 1)$$
Каждое из получившихся произведений не меньше $n$, при этом одно из этих произведений не меньше $\frac{n^2}{4}$.
Таким образом, $(n!)^2\ge n^n\cdot \frac{n}{4}$
А так как $\frac{n}{4}$ является бесконечно большой величиной...
Корректно ли такое док-во?

Источник задачи (2-й курс, зад. 4).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение19.01.2013, 16:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\cdot\dfrac{n}{(n+1)^2}\to0\ \Rightarrow\ a_n\to0.$

И так всегда, когда заранее ясно, что общий член убывает быстрее геометрической прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение19.01.2013, 16:20 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ewert, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение19.01.2013, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Ktina
Ваше доказательство корректно и очень красиво, более того, эта идея находит применение еще кое-где.
Но прием ewertа тоже полезно усвоить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение19.01.2013, 20:03 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Можно еще воспользоваться формулой Стирлинга :

$\sqrt{2\pi n}{{\left( \frac{n}{e} \right)}^{n}}\sim n!(n \to \infty)$

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{n}}}{{{\left( n! \right)}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{n}}}{n!\sqrt{2\pi n}{{\left( \frac{n}{e} \right)}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{n}}}{n!\sqrt{2\pi n}}$

А предел $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{n}}}{n!}=0$. Значит, исходный тоже равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение20.01.2013, 14:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ex-math в сообщении #673817 писал(а):
...эта идея находит применение еще кое-где...

Где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение20.01.2013, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
В доказательстве одного из неравенств Чебышева в теории чисел. Этот прием применяет Нестеренко в одной из своих книг.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group