Что значит выражение

[Valen007]

Здравствуйте,
подскажите, пожалуйста, что значит выражение

$2^{10} \equiv -3 {(\mod 13)} $ ?

отрицательный остаток? Должно быть 10.

Валентин

[Joker_vD]

Означает, что $2^{10}-(-3)$ делится на $13$ без остатка.

-- Сб янв 19, 2013 04:04:07 --

Valen007 в сообщении #673499 писал(а):

Должно быть 10.

Ну необязательно. Полную систему вычетов выбирать можно по-всякому.

[Munin]

Остаток от деления 10. Но сравнение по модулю не означает, что слева стоит делимое, а справа остаток. Сравнение по модулю означает, что оба числа, и слева и справа, дают при делении одинаковый остаток. То есть, и остаток от деления $2^{10}$ на 13 - скажем, 10 (не проверял), и остаток от деления -3 на 13 - это тоже 10.

[Valen007]

Цитата:

Остаток от деления 10. Но сравнение по модулю не означает, что слева стоит делимое, а справа остаток. Сравнение по модулю означает, что оба числа, и слева и справа, дают при делении одинаковый остаток. То есть, и остаток от деления на 13 - скажем, 10 (не проверял), и остаток от деления -3 на 13 - это тоже 10.

Понял.

А как можно посчитать остаток от деления отрицательного числа на положительное?
Например, $-1 \mod 10$ ? Хотя, наверно, начинаю понимать: надо прибавить достаточное число раз к отрицательному числу делитель и найти от получившегося положительного числа остаток.
Поэтому $-1 \mod 10$ дает $9 \mod 10=9$ ?

[Munin]

Да, вы правильно поняли.
Впрочем, для отрицательных делителей и делимых существуют разные соглашения, особенно в разных языках программирования. То, что я и вы описали - это только один вариант. Он удобен тем, что остаток всегда, для любых чисел, находится в пределах $0\leqslant r\leqslant m-1,$ где $m$ - делитель, или модуль сравнения, который мы предполагаем всегда положительным. В математике сравнений по модулю всегда рассматривается только этот вариант.

-- 19.01.2013 14:23:40 --

Маленькое различие:
в LaTeX используются разные команды для операции взятия остатка, и для отношения равенства по модулю.
Для операции - команда \bmod (от слова binary - бинарная операция): $-1\bmod 10=9.$
Для отношения - команда \mod : $-1=9\mod{10}.$
И ещё вариант - команда \pmod (от слова parentheses - скобки): $-1=9\pmod{10}.$
Отличается длина пробелов.

[Valen007]

Спасибо, буду знать. LaTeX удобная вещь, видимо.

Мне кажется, что для отношения равенства по модулю надо использовать команду \equiv : $-1\equiv9 \mod 10$ , а не обычное $-1=9 \mod 10$.

[arseniiv]

Вы правы, (как минимум, практически везде) для равенства по модулю используют $\equiv$.

Кстати, есть смысл и у $a \equiv b \pmod 0$ — запись означает, что $\exists k\in\mathbb Z : a - b = 0k$, т. е. $a = b$. А по модулю 1 любые два целых эквиванетны. (А ещё так же определяется равенство по действительнозначному модулю. Например, $a$ и $b$ задают одинаковые углы, если $a \equiv b \pmod{2\pi}$.)

[Jnrty]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: несоответствие выбранному разделу.