Помогите решить в целых числах

[b322730]

Помогите, пожалуйста, решить в целых числах уравнение, либо укажите книги и статьи, которые необходимо для этого прочесть:
$y=\frac{a\cdot x}{a+x}$

[Cash]

$xy-ax+ay=0$
Дальше нужно к обеим частям кое-что прибавить, чтобы левая часть разложилась на множители.

[b322730]

Единственное, что приходит в голову, так это прибавить $xy$, но тогда появляются мнимые числа.

[Sonic86]

Выделите квадратичную форму из левой части и разложите ее на множители. (неявно я предполагаю, что $a$ - заданный параметр, а $x$ - неизвестное)

[ИСН]

Каким образом прибавление xy поможет левой части разложиться на множители, хотя бы и с использованием мнимых чисел?

[Shadow]

Я бы решал так:
За исключением $a+x=\pm 1$, a и x не могут быть взаимнопростыми. Пусть
$\\a=kp\\ x=kq$
p,q взаимнопростые. Дальше нетрудна параметризация.
Если у вас а-параметр, то число решений зависит от число его делителей.

[Cash]

$(\bullet + \bullet)(\bullet + \bullet) = xy-ax+ay+\bullet$
Пробуйте, тут уж не так много вариантов

[b322730]

$xy-ax+ay-x^2=\left(a+x\right)\left(y-x\right)$

-- Пт янв 18, 2013 11:20:07 --

Правильно?

[Cash]

Правильно, но немного не то. Есть еще одно, нужное нам.

-- Пт янв 18, 2013 15:18:16 --

(Оффтоп)

Небольшая подсказка. Я даже и не видел предложенного разложения, хотя глядя на исходную задачу можно было бы и догадаться, что поскольку $a$ и $x$ можно менять местами, то способов будет, как минимум 2

[b322730]

$xy-ax+ay-y^2=\left(x-y\right)\left(y-a\right)$
А так?

[INGELRII]

Постарайтесь прибавить такую штуку, чтобы она ни от $x$, ни от $y$ не зависела.

[Deggial]

b322730 в сообщении #673195 писал(а):

$xy-ax+ay-y^2=\left(x-y\right)\left(y-a\right)$

Это неверно. В левом многочлене $3$ члена со множителем $y$.

b322730 в сообщении #673108 писал(а):

$xy-ax+ay-x^2=\left(a+x\right)\left(y-x\right)$

тоже неверно по той же причине.

По-моему, Вы, при выделении формы не различаете константы и переменные.

[b322730]

$xy-ax+ay-a^2=\left(x+a\right)\left(y-a\right) $
Получилось?

[Deggial]

b322730 в сообщении #673339 писал(а):

Получилось?

Да

[b322730]

А дальше что?