Когда гладкое отображения является инъективным?

[Someone]

Я не понял Вашей реакции. Тождественное отображение - это отображение, которое каждой точке (сферы) сопоставляет эту же точку. Разумеется, тождественное отображение гладкое. И дифференциал там невырожденный.
Вы не путаете тождественное отображение с постоянным?

P.S. Разумеется, я всё время имел в виду класс гомотопической эквивалентности, содержащий тождественное отображение. Другая образующая - класс гомотопической эквивалентности симметрии сферы относительно её центра.

[alcoholist]

g______d в сообщении #673011 писал(а):

вряд ли дифференциал последнего будет невырожден.

дифференциал тождественного отображения тождественен... коли уж мы про сфероиды

[g______d]

Я плохо выразился в последнем сообщении. Я действительно перепутал тождественное отображение с постоянным, и ни то, ни другое мне не подходит. Я хотел рассмотреть гладкий представитель квадрата тождественного отображения (по отношению к умножению в $\pi_2(S^2)$). Образующей он не является. Но, по-видимому, его дифференциал где-то должен быть вырожден.

-- 18.01.2013, 03:32 --

Хотя черт его знает, может быть и не вырожден. Мне сейчас его не представить. Если не вырожден, то вроде бы подходит на роль контрпримера.

[alcoholist]

g______d в сообщении #673027 писал(а):

Я хотел рассмотреть гладкий представитель квадрата тождественного отображения

по теореме о надстройке это отображение можно представить так: возьмите двулистное отображение окружности (края диска $D$) на экватор сферы $S$ и продолжите его до непрерывнго отображения диска в верхнюю полусферу $D\to S^+$ -- продолжение существует в силу стягивамости диска... и так же с нижней полусферой:)))

-- Пт янв 18, 2013 02:50:17 --

g______d в сообщении #673027 писал(а):

Хотя черт его знает, может быть и не вырожден.

конечно, якобиан там должен обращаться в ноль, но разве это контрпример к чему-то?

[g______d]

alcoholist в сообщении #673028 писал(а):

конечно, якобиан там должен обращаться в ноль, но разве это контрпример к чему-то?

Был бы, если бы не обращался.

-- 18.01.2013, 04:03 --

Вопрос, в принципе, остается. Пусть есть гладкое отображение двух компактных многообразий без края, дифференциал которого во всех точках является невырожденной матрицей. Пусть то, куда отображется, односвязно. Верно ли, что отображение инъективно?