(5^u-2^v)^2<2^v

[Руст]

Задача $\frac{a}{b}=b.a$ приводит к выводу:
$a=5^{2n-u}2^{2n-v}(5^u-2^v)^2,b=2^n(5^u-2^v)5^{n-u}, \ 10^{n-1}\le a<10^n, \ n\ge max(u,v).$
А это в свою очередь приводит к нахождению всех неотрицательных u,v удовлетворяющих условию:
(1) $(5^u-2^v)^2<2^{v-n}5^{u-n}, \ 5^u>2^v, \ u\le n, \ v\le 2n.$
Интересно есть ли решения (1), кроме u=n=1,v=2.
Из abc гипотезы получается, что число решений конечно.

[RIP]

(1) можно переписать в виде

$$0<\frac{5^u}{2^v}-1<2^{-v/2-n/2}5^{u/2-n/2}.$$

отсюда для $l=u\ln5-v\ln2$ получаем

$$0<l<\ln\left(1+2^{-v/2-n/2}5^{u/2-n/2}\right)<2^{-n/2}.$$

Из теории линейных форм логарифмов алгебраических чисел известно, что если $H:=\max\{|u|,|v|\}>0$, то выполняется неравенство

$$|u\ln5-v\ln2|>cH^{-\gamma},$$

где $c,\gamma$ --- некоторые положительные постоянные, которые можно посчитать явно (конечно, они уже посчитаны, но где их искать, я, к сожалению, не знаю). Поэтому получаем неравенство

$$cH^{-\gamma}<2^{-n/2}$$

Поскольку $H\leqslant2n$, то отсюда получаем, что $n\leqslant N_0$, где $N_0$ можно посчитать явно (правда, оно может получиться весьма большим).

Upd. Приведу конкретные вычисления. На самом деле условия на параметры таковы: $0\le u\le n\le v\le2n$, $5^u>2^v$, поэтому получаем
$|2^v5^{-u}-1|<2^{v/2}5^{-u/2}10^{-n/2}\le10^{-v/4}.$
С другой стороны, в качестве оценки снизу можно взять
$|2^v5^{-u}-1|>\exp\left(-1905\log3\cdot\log5\cdot(\log v+8)^2\right).$
Эту (и даже лучшую) оценку можно найти в работе M. Mignotte, M. Waldschmidt, Linear forms in two logarithms and Schneider's method (III), Annales de la faculté des sciences de Toulouse Sér. 5, S10 (1989), 43-75 (см. $\S~9$; если честно, то я не проверял вычисления, но ясно, что утверждение верно). Лучшие оценки можно найти, например, в http://dx.doi.org/10.1006/jnth.1995.1141, но у меня нет к ней доступа.
Т.о., получаем неравенство
$\frac v{(\log v+8)^2}<\frac{7620\log3\cdot\log5}{\log10},$
откуда $v<3.1\cdot10^6$.

Upd. Проверил на компьютере. Других решений нету.

[Руст]

Действительно отлично можно обойтись и без abc гипотезы, для доказателства конечности числа решений.