2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Для начала прибавьте единицу к обеим частям равенства. Затем правую часть разложите на множители.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:04 


16/03/11
844
No comments
мат-ламер в сообщении #672435 писал(а):
Для начала прибавьте единицу к обеим частям равенства. Затем правую часть разложите на множители.

Хорошо, тогда уравнение имеет вид $y^2+1=(x+1)^2(x^2-x+1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Может ли левая часть делится на квадрат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:26 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
DjD USB в сообщении #672430 писал(а):
Решить уравнение в натуральных числах:
$$y^2=x^4+x^3+x$$
Надо исходить из того факта, что при достаточно больших $x$ правая часть зажимается между двумя близкими квадратами.

мат-ламер в сообщении #672452 писал(а):
Может ли левая часть делится на квадрат?
Может. Интересно, как Вы хотели дальше решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:26 


16/03/11
844
No comments
мат-ламер в сообщении #672452 писал(а):
Может ли левая часть делится на квадрат?

Да. К примеру если $y=7$ то выражение делится на 25

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
DjD USB в сообщении #672458 писал(а):
мат-ламер в сообщении #672452 писал(а):
Может ли левая часть делится на квадрат?

Да. К примеру если $y=7$ то выражение делится на 25

Собирался доказывать, что не может. Однако не получилось.

-- Ср янв 16, 2013 19:38:06 --

Deggial в сообщении #672457 писал(а):
Надо исходить из того факта, что при достаточно больших правая часть зажимается между двумя близкими квадратами.

Чего-то у меня не зажалось, т.е. пробовал доказать, что $(x^2)^2<x^4+x^3+x<(x^2+1)^2$, но это же не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
мат-ламер в сообщении #672460 писал(а):
Чего-то у меня не зажалось, т.е. пробовал доказать, что $(x^2)^2<x^4+x^3+x<(x^2+1)^2$, но это же не верно.
Да, неверно, я спутал квадрат с 4-й степенью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Из соображений делимости $x$ -- полный квадрат, причем четный. А $y/\sqrt x$ -- нечетное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
$\sqrt{x^4+x^3+x}=x^2+x/2-1/8+O(1/x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:48 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Умножить на 4 обе части и только потом выделять полный квадрат. А ещё лучше разложить $\sqrt{4x^4+4x^3+4x}$ в ряд при $x=\infty$.

-- Ср янв 16, 2013 22:52:37 --

ex-math в сообщении #672464 писал(а):
Из соображений делимости $x$ -- полный квадрат, причем четный. А $y/\sqrt x$ -- нечетное.
И что дальше? Получается уравнение $z^2=w^6+w^4+1$, которое опять придётся решать, зажимая между двумя квадратами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
А у Вас что дальше? Решений конечное число -- это видно.
Оценить верхнюю границу $x$ и перебор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:57 


16/03/11
844
No comments
nnosipov
В смысле разложить в ряд?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 18:59 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
ex-math в сообщении #672474 писал(а):
Оценить верхнюю границу $x$ и перебор?
Разумеется. По-другому эти уравнения (т.е. удовлетворяющие условию Рунге) в общем случае и не решаются.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.01.2013, 19:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Переехали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах
Сообщение16.01.2013, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
ex-math в сообщении #672474 писал(а):
А у Вас что дальше? Решений конечное число -- это видно.
Почему конечное?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: scwec


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group