Школьная задача

[мат-ламер]

Для начала прибавьте единицу к обеим частям равенства. Затем правую часть разложите на множители.

[DjD USB]

мат-ламер в сообщении #672435 писал(а):

Для начала прибавьте единицу к обеим частям равенства. Затем правую часть разложите на множители.

Хорошо, тогда уравнение имеет вид $y^2+1=(x+1)^2(x^2-x+1)$

[мат-ламер]

Может ли левая часть делится на квадрат?

[Deggial]

DjD USB в сообщении #672430 писал(а):

Решить уравнение в натуральных числах:

$$y^2=x^4+x^3+x$$

Надо исходить из того факта, что при достаточно больших $x$ правая часть зажимается между двумя близкими квадратами.

мат-ламер в сообщении #672452 писал(а):

Может ли левая часть делится на квадрат?

Может. Интересно, как Вы хотели дальше решать?

[DjD USB]

мат-ламер в сообщении #672452 писал(а):

Может ли левая часть делится на квадрат?

Да. К примеру если $y=7$ то выражение делится на 25

[мат-ламер]

DjD USB в сообщении #672458 писал(а):

мат-ламер в сообщении #672452 писал(а):

Может ли левая часть делится на квадрат?

Да. К примеру если $y=7$ то выражение делится на 25

Собирался доказывать, что не может. Однако не получилось.

-- Ср янв 16, 2013 19:38:06 --

Deggial в сообщении #672457 писал(а):

Надо исходить из того факта, что при достаточно больших правая часть зажимается между двумя близкими квадратами.

Чего-то у меня не зажалось, т.е. пробовал доказать, что $(x^2)^2<x^4+x^3+x<(x^2+1)^2$, но это же не верно.

[Deggial]

мат-ламер в сообщении #672460 писал(а):

Чего-то у меня не зажалось, т.е. пробовал доказать, что $(x^2)^2<x^4+x^3+x<(x^2+1)^2$, но это же не верно.

Да, неверно, я спутал квадрат с 4-й степенью.

[ex-math]

Из соображений делимости $x$ -- полный квадрат, причем четный. А $y/\sqrt x$ -- нечетное.

[RIP]

$\sqrt{x^4+x^3+x}=x^2+x/2-1/8+O(1/x)$.

[nnosipov]

Умножить на 4 обе части и только потом выделять полный квадрат. А ещё лучше разложить $\sqrt{4x^4+4x^3+4x}$ в ряд при $x=\infty$.

-- Ср янв 16, 2013 22:52:37 --

ex-math в сообщении #672464 писал(а):

Из соображений делимости $x$ -- полный квадрат, причем четный. А $y/\sqrt x$ -- нечетное.

И что дальше? Получается уравнение $z^2=w^6+w^4+1$, которое опять придётся решать, зажимая между двумя квадратами.

[ex-math]

А у Вас что дальше? Решений конечное число -- это видно.
Оценить верхнюю границу $x$ и перебор?

[DjD USB]

nnosipov
В смысле разложить в ряд?

[nnosipov]

ex-math в сообщении #672474 писал(а):

Оценить верхнюю границу $x$ и перебор?

Разумеется. По-другому эти уравнения (т.е. удовлетворяющие условию Рунге) в общем случае и не решаются.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Переехали.

[TOTAL]

ex-math в сообщении #672474 писал(а):

А у Вас что дальше? Решений конечное число -- это видно.

Почему конечное?